SNS 2009/2010. n°5.
SNS 2009/2010. n°5.
Sia $ f(x):=x^2-2 $.
a)Mostrare che per ogni $ y \in \mathbb{R} $ vale $ f(2\cos{y})=2\cos{(2y)} $.
Fissato $ a_0 \in \mathbb{R} $ si definisca la successione degli $ \{a_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ di modo tale che $ a_{i+1}=f(a_i) $ per ogni $ i \in \mathbb{N} $.
b) Mostrare che se $ |a_0|>2 $ allora gli $ a_n $ non sono limitati.
c) Supponendo che la successione degli $ a_i $ sia periodica, mostrare che esiste $ q \in \mathbb{Q} $ tale che $ a_0=2\cos(2\pi q) $.
d) Supponiamo invece che tale successione tenda a un limite finito $ \ell $. Mostrare che allora si deve avere, per $ n $ abbastanza grande, $ a_n=-1 $ (e dunque $ l=-1 $), oppure $ a_n=2 $(e dunque $ l=2 $).
a)Mostrare che per ogni $ y \in \mathbb{R} $ vale $ f(2\cos{y})=2\cos{(2y)} $.
Fissato $ a_0 \in \mathbb{R} $ si definisca la successione degli $ \{a_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ di modo tale che $ a_{i+1}=f(a_i) $ per ogni $ i \in \mathbb{N} $.
b) Mostrare che se $ |a_0|>2 $ allora gli $ a_n $ non sono limitati.
c) Supponendo che la successione degli $ a_i $ sia periodica, mostrare che esiste $ q \in \mathbb{Q} $ tale che $ a_0=2\cos(2\pi q) $.
d) Supponiamo invece che tale successione tenda a un limite finito $ \ell $. Mostrare che allora si deve avere, per $ n $ abbastanza grande, $ a_n=-1 $ (e dunque $ l=-1 $), oppure $ a_n=2 $(e dunque $ l=2 $).
The only goal of science is the honor of the human spirit.
a)Per ogni numero reale $ y $ si ha $ cos(2y)=1-2sin^2y $ (per ora non so dimostrarlo,ma ci proverò).
L'uguaglianza da dimostrare diventa $ 4cos^2y-2=2-4sin^2y $,che per la regola del trasporto è equivalente a $ 4sin^2y+4cos^2y=4 $. Dividendo entrambi i membri per $ 4 $ si ottiene $ sin^2y+cos^2y=1 $,che è vera per ogni $ y \in \mathbb{R} $
L'uguaglianza da dimostrare diventa $ 4cos^2y-2=2-4sin^2y $,che per la regola del trasporto è equivalente a $ 4sin^2y+4cos^2y=4 $. Dividendo entrambi i membri per $ 4 $ si ottiene $ sin^2y+cos^2y=1 $,che è vera per ogni $ y \in \mathbb{R} $
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
b) per dimostrare che gli a_n non sono limitati bisogna dimostrare che per ogni n $ a_{n+1}>a_n $, se $ a_0<-2 $, significa che $ a_1=a_0^2-2>2>a_0 $, da qui in poi (anche per il caso $ a_0>2 $), dobbiamo dimostrare che $ a_{n+1}=a_n^2-2>a_n} $, che è vero per ogni $ a_n>2 $, e concludiamo
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Spiglierg l'induzione non va bene perchè la differenza tra 2 termini consecutivi potrebbe tendere a 0 per esempio questa serie è limitata superiormente ma soddisfa la tua ipotesi:
$ \displaystyle a_{1}=1 $
$ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2^{n+1}} $
Questa ovviamente non diverge ma soddisfa:
$ a_{i+1}>a_i \forall i $
p.s. mi ha preceduto pak-man xD
$ \displaystyle a_{1}=1 $
$ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2^{n+1}} $
Questa ovviamente non diverge ma soddisfa:
$ a_{i+1}>a_i \forall i $
p.s. mi ha preceduto pak-man xD
in effetti è vero scusate. Comunque ora provo ad aggiustarlo: allora diciamo che la successione non è superiormente limitata se la differenza tra 2 termini consecutivi è crescente o costante. Quindi bisogna dimostrare che $ a_{n+2}-a_{n+1}\ge a_{n+1}-a_n $, il che si può fare facilmente sostituendo in modo da ottennere un polinomio di quarto grado in a_n e scomponendolo (in questo caso va di fortuna, perchè ha soluzioni -1 e 2).Ora può andare?
EDIT:giusto per fare i perfettini, per giustificare la prima affermazione che messa lì cosi non mi piace tanto, si può chiamare in causa l'archimedeità di R. Infatti abbiamo che, detta h (h reale positivo) la differenza tra 2 termini consecutivi, diciamo $ a_{i+1},a_i $, avremo che il termine $ a_{i+n}\ge a_i+nh $, e per l'archimedeità per ogni reale x esiste sempre un n naturale tale che $ nh>x $
EDIT:giusto per fare i perfettini, per giustificare la prima affermazione che messa lì cosi non mi piace tanto, si può chiamare in causa l'archimedeità di R. Infatti abbiamo che, detta h (h reale positivo) la differenza tra 2 termini consecutivi, diciamo $ a_{i+1},a_i $, avremo che il termine $ a_{i+n}\ge a_i+nh $, e per l'archimedeità per ogni reale x esiste sempre un n naturale tale che $ nh>x $
Ultima modifica di Maioc92 il 28 ago 2009, 14:47, modificato 1 volta in totale.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Mi pare di sì
Si ha che:
$ a_{n+2}-a_{n+1}\ge a_{n+1}-a_n $
$ a_n^4-6a_n^2+a_n+6\ge0 $
$ (a_n+1)(a_n-2)(a_n^2+a_n-3)\ge0 $
E poiché $ \left|a_i\right|>2 $ (che deriva direttamente dall'ipotesi $ \left|a_0\right|>2 $) allora è sempre verificata.
Dunque la differenza tra due termini successivi non diminuisce mai ed essendo una serie crescente, non è superiormente limitata.
Si ha che:
$ a_{n+2}-a_{n+1}\ge a_{n+1}-a_n $
$ a_n^4-6a_n^2+a_n+6\ge0 $
$ (a_n+1)(a_n-2)(a_n^2+a_n-3)\ge0 $
E poiché $ \left|a_i\right|>2 $ (che deriva direttamente dall'ipotesi $ \left|a_0\right|>2 $) allora è sempre verificata.
Dunque la differenza tra due termini successivi non diminuisce mai ed essendo una serie crescente, non è superiormente limitata.
Devo postare anche la dimostrazione di questa identità o sono a posto così?spugna ha scritto:Per ogni numero reale $ y $ si ha $ cos(2y)=1-2sin^2y $ (per ora non so dimostrarlo,ma ci proverò).
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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Spero che di queste idiozie ne abbiamo fatte almeno un paio a testa... Io ho già dato abbastanza da quel punto di vista!didudo ha scritto: Le solite idiozie di cui ti accorgi mentre varchi la soglia...
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]