Sia data una n-upla $ (x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^+ $.
Sapendo che $ \sum\limits_{cyc} x_1=1 $ , dimostrare che
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{x_1}{\sqrt{1-x_1}} \ge \sqrt{\dfrac{n}{n-1}} $
Questa con n variabili
Questa con n variabili
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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- exodd
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se non sbaglio è arci-risaputa..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
ma è sempre bella per chi la vede per la prima voltaexodd ha scritto:se non sbaglio è arci-risaputa..
Propongo a tutti di dimostrarla in più modi possibili.
Comincio io.
Sostituendo $ $y_i=1-x_i$ $ ottengo $ $\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{y_1}} \ge \sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sum_{cyc}\sqrt{y_1}$ $ con $ $\sum_{cyc}y_1=n-1$ $
1) Dimostro che $ $\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{y_1}}\ge\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sqrt{n(n-1)}$ $:
raccogliendo e dividendo per $ $n$ $ ho $ $\dfrac{\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{y_1}}}{n}\ge\sqrt{\dfrac{n}{n-1}$ $ che è vera per HM-QM.
2) Dimostro che $ $\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sqrt{n(n-1)}\ge\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sum_{cyc}\sqrt{y_1}$ $ cioè $ $\sqrt{n(n-1)}\ge\sum_{cyc}\sqrt{y_1}$ $:
è vera per CS prendendo come specie $ $a_1=...=a_n=1$ $ e $ $b_i=\sqrt{y_i}$ $.
Unendo la 1) con la 2) ottengo la tesi.
Appassionatamente BTA 197!