Problema 25 staffetta

[Federiko]

Problema 25: Siano $a,b,c$ reali positivi tali che $a\ge b\ge c$. Dimostrare che
$$\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c$$

[paga92aren]

Problema 25: Siano $a,b,c$ reali positivi tali che $a\ge b\ge c$. Dimostrare che
$$\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c$$

Provo a dare la soluzione: $-\frac{b^2-c^2}{a}\geq-\frac{b^2-c^2}{b}=-b+\frac{c^2}{b}$ (sapendo che $b^2-c^2\geq 0$) e inoltre $\frac{a^2-c^2}{b}\geq\frac{a^2-c^2}{a}= a-\frac{c^2}{a}$ e riscrivo la disequazione:
$$\frac{a^2-b^2}{c}-b+\frac{c^2}{b}+a-\frac{c^2}{a}\ge 3a-4b+c$$
$$\frac{a^2-b^2}{c}+c^2 \frac{a-b}{ab}\geq 2(a-b)$$
L'ultimo passaggio è dato dalla $b\geq c$. Semplifico per $a-b$: $\frac{a+b}{c}+\frac{c^2}{ab}\geq 2$ che è sempre vera perché $a+b\geq 2c$ e il secondo termine della somma è sempre positivo.

[Federiko]

right

[paga92aren]

L'unica cosa che non ho detto è che quando semplifico per $(a-b)$ devo verificare il caso $a=b$ separatamente (che è banale)

ecco il nuovo problema Problema 26