27. Disuguaglianza (staffetta)

[Anér]

Siano $ x,y,z $ numeri reali. Dimostrare che
$ x^4+y^4+z^4+x^2yz+y^2zx+z^2xy\geq x^3y+y^3z+z^3x+xy^3+yz^3+zx^3 $
Determinare inoltre i casi di uguaglianza.

[amatrix92]

Premetto che non sono certo della mia soluzione.

Porto tutto al $ LHS $ e raccogliendo ottengo:

$ x^2 ( x^2 -xy-xz+yz) + y^2 (y^2 - xy - yz +xz) + z^2 (z^2 -zy-zx +yx) \geq 0 $

A questo punto essendo $ x^2 $ , $ y^2 $ e $ z^2 $ termini sempre positivi posso anche levarli (con x, y e z diversi da 0 ), e, per questo motivo, se fosse vera la seguente disequazione sarebbe condizione sufficiente affinchè la disquazione sopra scritta fosse anch'essa vera

$ (x^2-xy-xz+yz)+(y^2-xy-yz+xz)+(z^2-zy-zx+yx)\geq 0 $

da cui

$ \displaystyle y^2+x^2+z^2 \geq zy+xy+xz $ che è vera per mille ragioni tra cui scrivendola così:

$ \sqrt{x^2+y^2+z^2} \cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2} \geq xy + zy + zx $ è vera per C.S e non necessita neanche di ordinamento tra x, y e z.

Le uguglianze si hanno poi per x=y=z

Attendo conferme ( o smentite ovviamente )

[Claudio.]

...$ x^2 ( x^2 -xy-xz+yz) + y^2 (y^2 - xy - yz +xz) + z^2 (z^2 -zy-zx +yx) \geq 0 $

A questo punto essendo $ x^2 $ , $ y^2 $ e $ z^2 $ termini sempre positivi posso anche levarli...

Non credo ^^ avresti potuto se fossero state delle somme...così credo proprio non si possa, almeno senza giustificarlo, ipotizza quello dentro la parentesi uguale ad a ,b,c:
$ax^2+by^2+cz^2\ge0$ basta porre a=0 e vedi che ci sono casi in cui $by^2+cz^2\ge0$ è maggiore di 0 e $b+c$ no.


EDIT: Non ne sono più così sicuro

[amatrix92]

con la condizione diversi da 0 dovrebbe funzionare.

[ndp15]

Stai dicendo che $ a+b+c\geq0 $ implica $ x^2a+y^2b+z^2c\geq0 $ per qualsiasi $ x,y,z \in \mathbb R $. Prendiamo $ a=1, b=1, c=-1 $. Dovrebbe valere sempre $ x^2+y^2\geq z^2 $

[staffo]

Posto la mia soluzione:

1)allora porto tutto a sinistra ;

2)raccolgo un termine al quadrato da cui ottengo:
$ x^2(x^2 - xy - xz + yz) + y^2(y^2 - yx - yz + xz) + z^2(z^2 - zx - zy + xy) \geq 0 $ ;

3)ora trasforo le parentesi con un raccoglimento parziale (lo faccio solo sulla prima e le altre uguale):
$ x^2 ( x(x-y) - z(x-y) ) $ e quindi $ x^2(x - y)(x - z) $

ottengo dunque la disuguaglianza di Schur, che è vera.
inoltre vale il segno di uguale se e solo se $ x=y=z $ o due tra $ x,y,z $ sono uguali e l'altro è $ 0 $ q.e.d

torna tutto?

[ndp15]

ottengo dunque la disuguaglianza di Schur, che è vera.

Vera sì, ma se l'esponente è pari vale solo per $ x,y,z\geq0 $

[amatrix92]

ottengo dunque la disuguaglianza di Schur, che è vera.

Vera sì, ma se l'esponente è pari vale solo per $ x,y,z\geq0 $

Questo fatto non lo sapevo. Puoi dirmi da dove lo hai preso?

[staffo]

Hai ragione ndp15, me lo ero scordato, ho controllato sul Gobbino ed è così.

Però, a questo punto, siccome io non ho applicato nulla ma solo raccoglimenti, e siccome la disugaglianza di partenza data da Aner è un semplice sviluppo dei prodotti della disuguaglianza di Schur, ne consegue che il testo è sbagliato, o meglio, il testo chiede di dimostrare quella disuguaglianza, ma dovrebbe specificare per $ x,y,z\geq0 $. Oppure sbaglio qualcosa io?

[Mist]

Il tuo ragionamento è perfetto e secondo me il testo è anche giusto, hai semplicemente dimostrato solo il caso in cui $x,y,z \ge 0 $ secondo me..

Ifatti vale anche se $x,y,z \le 0$ in quanto per esempio $x=y=z = -1$ fa diventare la disuguaglianza $1+1+1+1+1+1 \ge 1+1+1+1+1+1 $ che è vero... Secondo me ci sei quasi però.

[staffo]

E il problema è uno: io non ho fatto praticamente nulla. Quella scritta da Aner è la disuguaglianza di Schur, è identica, solo che è in forma sviluppata, quindi non può valere un risultato per questa disuguaglianza che non sia valido anche per la disuguaglianza di Schur.

Il problema è che io ho provato con vari casi di numeri negativi nella disuguaglianza di Schur, ma il risoltato è sempre che è valida (a questo punto mi chiedo se la disuguaglianza di schur non sia valida per tutti i reali effettivamente, anche con indice pari).

EDIT: molto importante, sostituite nella disuguaglianza di Schur $ x=y=-1, z=-2 $, con esponenti dispari e con esponente pari (e poi traetene le ovvie conclusioni)

ACHTUNG! Mi sa che Schur valga sempre per r pari e non per r dispari, l'opposto di come dice wiki e ndp15

[Federiko]

wiki dice giusto http://en.wikipedia.org/wiki/Schur_inequality

[staffo]

http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Schur

guarda questo wiki in italiano sbagliato O.o (andiamo di male in peggio) Allora ritengo che è ragionevolmente dimostrata la disuguaglianza iniziale.

[Anér]

http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Schur

guarda questo wiki in italiano sbagliato O.o (andiamo di male in peggio) Allora ritengo che è ragionevolmente dimostrata la disuguaglianza iniziale.

Sì, wikipedia italiana è sbagliata (dicono che capiti spesso), quella inglese è incompleta.
Per quanto ne so io Schur vale ogni volta che si hanno tre reali x,y,z e una funzione $ f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+_0 $ che sia debolmente monotona e/o debolmente convessa (in realtà basta che sia monotona o convessa sull'insieme di x,y,z, credo che sia abbastanza ovvio). Nella fattispecie $ x^2 $ non è monotona sui reali ma è convessa e a valori nonnegativi, dunque Schur vale:
$ f(x)(x-y)(x-z)+f(y)(y-z)(y-x)+f(z)(z-x)(z-y)\geq 0 $

[paga92aren]

La disuguaglianza di Shur impone che $x,y,z\geq 0$ (ho le schede olimpiche sotto mano), ma si riesce a dimostrare che vale anche per $x,y,z$ negativi se e solo se $r$ è pari.

Dimostrazione:
$a,b,c\geq 0$ ho tre casi (wlog $a\geq b \geq c$):
1) $a,b\geq 0$ e $c<0$: sostituisco nella disuguaglianza e ottengo che $a^r(a-b)(a+c)-b^r(b+c)(b-a)+c^r(c+a)(c+b)\geq 0$ con tutti i termini moltiplicati positivi quindi diventa: $(a-b)(a^r(a+c)-b^r(b+c))+$roba positiva$\geq 0$ che è vera perché $a^r\geq b^r$ e $a+c\geq b+c$.
2) $a\geq 0$ e $b,c <0$: sostituisco e ottengo: $a^r(a+b)(a+c)-b^r(b-c)(b+a)+c^r(c+a)(b-c)\geq 0$ che è vera perché $(b-c)(a^r(a+c)-b^r(b-c))\geq 0$ che è vera per $a^r\geq b^r$ e per $a+c\geq b-c$
3)$a,b,c<0$ sostituisco e ottengo: $\sum a^r(-a+b)(-a+c)=\sum a^r(a-b)(a-c)\geq 0$ per Shur

spero di non aver fatto errori e di aver completato la dimostrazione in modo corretto.