staffetta algebra 32 (esponente)

[paga92aren]

Prima completo la dimostrazione di mist:

Testo nascosto:

Per quello che ho detto prima posso imporre $y=1$ e poi faccio la radice t-esima dei due membri:
$x^2-1=(x^t-1)f(x^t+1)$
Ora dimostro che $f(x^t+1)>1$ infatti facendo la radice di entrambi i membri viene che $x^t+1>1$ che è vera per ipotesi ($x>0$)
Basta verificare che per $t> 2$ è vero che $x^2-1<x^t-1$ che è ovvia.
Quindi il termine di destra è sempre maggiore di quello a sinistra. Assurdo. Fine

[patatone]

@paga: se t>2 allora $\frac{2-t}{t}$ è negativo e quindi $f(x^t+1)<1$....

Comunque visto che ormai il problema è aperto da un po' scrivo la mia soluzione:

1)escludo t negativo: se fosse t<0 allora avremmo la parte sinistra>0 e quella destra<0, assurdo.
2)t=0 non va bene, quindi t>0
3)se per ogni x>y l'equazione è verificata allora deve valere anche $\displaystyle lim_{x\rightarrow y} (\frac{x^t-y^t}{x-y})^t(x^t+y^t)^{2-t}=lim_{x\rightarrow y}(x+y)^t$. Ma $\displaystyle lim_{x\rightarrow y}(\frac{x^t-y^t}{x-y})$ è la derivata in y della funzione $x^t$ ed è uguale a $ty^{t-1}$. Invece molto banalmente $lim_{x\rightarrow y}(x^t+y^t)=2y^t$ e $lim_{x\rightarrow y} (x+y)^t=2^ty^t$. Sbattendo tutto dentro e semplificando tutto arrivo all'equazione $t^t=4^{t-1}$ che riscrivo come $t\log_4t=t-1$. La derivata seconda della funzione $t\log_4t-t+1$ è $\log_4e/t$ che è sempre >0 per t>0, quindi la funzione è convessa. Una funzione convessa ha al massimo 2 zeri.
4)si nota t=1 e t=2 sono soluzioni (e con si nota intendo si prova un po' a casaccio, anche se chiaramente sono i valori più sensati da provare), e per quanto detto al punto 3 sono le uniche.

Boh, a me fa un po' schifo...

Se qualcuno a questo punto vuole proporre un nuovo problema faccia pure, sennò ne metto un'altro io.

[Mist]

Io propongo che sia te a mettere il prossimo problema, purchè tu ne conosca una soluzione elementare

[jordan]

I problemi da proporre devono avere almeno una soluzione elementare, che deve essere conosciuta da chi lo propone. In ogni caso non mi pare che nessuno abbia provato a risolverlo, e non mi pare corretto che tu proponga anche il 33..

[Anér]

Così però la staffetta si blocca! Facciamo che patatone propone un problema 32 bis elementare (o lascia il compito a qualcun altro).

[jordan]

Meglio che lo propone qualcun altro.. lo fai te?

[amatrix92]

Non è una patata bollente qualcuno lo proponga e facciamola finita xD

[paga92aren]

Provo un'ultima soluzione:
$(x^t+1)^t(x^2-1)^t=(x^t-1)^t(x^t+1)^2$ da cui $(x^t+1)(x^2-1)=(x^t-1)(x^t+1)^\frac{2}{t}>(x^t-1)(x^t)^\frac{2}{t}=x^tx^2-x^2$
Mi basta dimostrare che $x^tx^2+x^2-x^t-1<x^tx^2-x^2$ per trovare l'assurdo.
$2x^2<x^t+1$ che è vera per $x$ grande ($>^{t-2}\sqrt{2}$)

[Anér]

Va bene, ho messo il nuovo problema così si va avanti, ecco l'indirizzo.

[patatone]

Provo un'ultima soluzione:
$(x^t+1)^t(x^2-1)^t=(x^t-1)^t(x^t+1)^2$ da cui $(x^t+1)(x^2-1)=(x^t-1)(x^t+1)^\frac{2}{t}>(x^t-1)(x^t)^\frac{2}{t}=x^tx^2-x^2$
Mi basta dimostrare che $x^tx^2+x^2-x^t-1<x^tx^2-x^2$ per trovare l'assurdo.
$2x^2<x^t+1$ che è vera per $x$ grande ($>^{t-2}\sqrt{2}$)

mi pare che questo l'avessi già scritto qualche post indietro, e in effetti mi sembra che funzioni e che sia anche una bella metà soluzione... purtroppo cosi non escludi il caso t<2 (o forse sono io che mi sono perso qualcosa?)

@jordan:rilassati... mi sembrava un bel problema e speravo che qualcuno trovasse una soluzione completamente elementare, tuttavia non mi sembra di aver fatto uso di strumenti avanzati di analisi (anche perchè non li conosco)

@aner:grazie per aver preso in mano la situazione e messo fine allo stallo

[paga92aren]

Scusa è passato tanto tempo che mi sembrava che mancasse il caso $t>2$, invece mancava il caso $t<2$ lol

[jordan]

@jordan:rilassati... mi sembrava un bel problema e speravo che qualcuno trovasse una soluzione completamente elementare, tuttavia non mi sembra di aver fatto uso di strumenti avanzati di analisi (anche perchè non li conosco)

Va bene, per il prossimo problema che proporrai però accertati di conoscere in anticipo dell'esistenza di almeno una soluzione che non richieda alcuno strumento di analisi (avanzata o meno che sia)..