Staffetta Algebra Problema 35

[bĕlcōlŏn]

Dati $a$, $b$ e $c$ tre reali positivi tali che $abc=1$, dimostrate che
$\displaystyle\sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3+3b^2+5} \leq \dfrac{1}{3}$

[amatrix92]

Forse ci sono, anche se credo che $ \frac{1}{3} $ non sia il valore minimo.

Step 1. $ \displaystyle \sum_{cyc} a^3+3b^2+5 \geq \sum_{cyc} abc+3ab+5 $ questo per la disuguaglianza di raggruppamento da cui

$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{a^3+3b^2+5} \leq \sum_{cyc} \frac{1}{abc+3ab+5} $

Step 2. Il $ RHS $ sostituendo $ abc=1 $ diventa $ \displaystyle \frac{1}{6+ 3\cdot \sum_{cyc} ab} $ ;

Step 3. Essendo $ a, b , c $ termini positivi $ \displaystyle \sum_{cyc} ab $ è un termine positivo e, per la precisione, per MacLaurin $ \displaystyle \sqrt {\frac{ab+bc+ca}{3}} \geq 1 $ da cui $ \displaystyle\sum_{cyc} ab \geq 3 $ da cui

Step 4. $ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{a^3+3b^2+5} \leq \frac{1}{15} $

[dario2994]

Se poni $a=b=c=1$ ottieni che vale l'uguaglianza

[amatrix92]

Se poni $a=b=c=1$ ottieni che vale l'uguaglianza

effettivamente

Edit: Ringrazio Staffo per avermi fatto notare l'errore.

Riparto da Step 2b. Ovviamente quello che ho scritto prima è scorretto perchè non posso portare la sommatoria così all'interno di un denominatore. Quindi quello che ottengo dal $ RHS $ dovrebbe essere esattamente questo: $ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{6+3ab} = \frac{1}{3} \sum_{cyc} \frac {1}{ 2+ab} $.

Step 3b. Ora voglio mostrare che$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac {1}{2+ab}\leq 1 $ e anche se so benissimo che ci saranno strade molto più brevi io ho fatto così:

$ \displaystyle \frac {1}{2+ab} + \frac {1}{2+ac} + \frac{1}{2+bc} = \frac {(bc+2)(ac+2) + (ab+2)(bc+2) + (ac+2)(ab+2) }{ (ab+2)(ac+2)(bc+2)} = $

dopo un po' di conti e sostituendo $ 1 $ ogni volta che ottengo $ abc $

$ =\displaystyle \frac {\sum_{cyc}a^2bc+ 4 \sum_{cyc}ab +12} {9 + 2\sum_{cyc}a^2bc + 4\sum_{cyc}ab} $

Ora mostro che il numeratore è minore del denominatore e semplificando ottengo

$ \displaystyle \sum_{cyc} a^2bc \geq 3 \iff(abc)(a+b+c) \geq 3 \implies a+b+c \geq 3 $ che è vera per AM-GM.

Step 4b. a questo punto so che $ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{6+3ab} \leq \frac {1}{3} $ che implica direttamente (per Step 1 e Step 2b) la tesi

$ \displaystyle \sum_{cyc} {\frac {1}{a^3+3b^2+5} }\leq \frac {1}{3} $

[dario2994]

Edit: Ringrazio Staffo per avermi fatto notare l'errore.

È un infingardo... non ti ha detto tutto
Anche il primo step ha qualche vago problema concettuale... tu fai una cosa del genere: $x+y+z\ge a+b+c\Rightarrow \frac1x+\frac1y+\frac1z\le \frac1a+\frac1b+\frac1c$
Quindi falla il primo step... da cui anche quello che dici poi

[amatrix92]

Hahah povero Staffo, no dai non è infingardo, mi ha poi fatto notare anche quella falla però non ho editato perchè non sono (ancora) riuscito a rattopparla

[amatrix92]

Se nessuno è particolarmente contrario potresti mettere un hint?

[dario2994]

Hintone:

Testo nascosto:

$a^3+3b^2+5\ge 3(ab+a+1)$

[patatone]

l'hintone mi sembra falso (a=1,b=1/2)... io cercavo una soluzione partendo dal fatto che
$\displaystyle a^3+3b^2+5\ge a^2+a+2(b^2+b)+3\ge 2a^{\frac 3 2}+4b^{\frac 3 2}+3$ e poi porre $\displaystyle x=a^{\frac 3 2}$ e cicliche. Però riesco a concludere solamente nel modo un po' bruttino di fare i conti e da quello che ottengo sistemare le cose un po' alla volta

[bĕlcōlŏn]

Hintone:

Testo nascosto:

$a^3+3b^2+5\ge 3(ab+a+1)$

Ringrazio dario per aver messo l'hintone però c'è qualcosa che non va, la forma esatta è

Testo nascosto:

$a^3+3b^2+5\ge 3(ab+b+1)$

così funziona e da qui alla soluzione è un passo (e un miracolo).

[dario2994]

Ops

[amatrix92]

Partendo dall' Hintone: ( e dando per ipotesi che sia vero, sennò se qualcuno lo chiede si mostra anche quello)

$ \displaystyle a^3+3b^2+5 \geq 3(ab+b+1) \implies \frac {1}{a^3+3b^2+5} \leq \frac{1}{3(ab+b+1)} \implies $

$ \displaystyle\frac {1}{a^3+3b^2+5} + \frac {1}{b^3+3c^2+5}+\frac {1}{c^3+3a^2+5}\leq \frac{1}{3(ab+b+1)}+\frac{1}{3(ca+a+1)}+\frac{1}{3(bc+c+1)} \iff $

$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac {1}{a^3+3b^2+5} \leq \frac {1}{3} \cdot \sum_{cyc} \frac{1}{ab+b+1} $

Pare ovvio che per avere la tesi basta mostrare che

$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{ab+b+1}\leq1 \iff(ab+b+1)(ca+a+1)(bc+c+1) \geq (ab+b+1)(ca+a+1)+(ca+a+1)(bc+c+1)+(bc+c+1)(ab+b+1) $

$ \iff a^2 b^2 c^2+a^2 b^2 c+a^2 b c^2+a^2 b c+a b^2 c^2+a b^2 c+a b c^2+a b c \geq a b+a c+b c+a+b+c+2 $

sostituendo $ abc=1 $

$ \displaystyle \sum_{cyc} a^2b^2c+a^2bc \geq \sum_{cyc} ab+ a $ ma, moltiplicando a destra per $ abc=1 $ è sempre vera l'uguaglianza da cui la tesi.

[bĕlcōlŏn]

Ok, la soluzione a partire dall'hintone va bene.
A questo punto tentate di mostrate l'hintone, in maniera tale che non sembri (così) calato dal cielo

Poi vorrei focalizzare l'attenzione su una cosa che non è emersa dal post di amatrix92... il fatto che alla fine valga proprio l'uguaglianza vuol dire che si ha esattamente $\displaystyle\sum_{cyc} \dfrac{1}{ab+b+1}=1$. Quindi, si può dire che
$abc=1 \Rightarrow \displaystyle\sum_{cyc} \dfrac{1}{ab+b+1}=1$
che, non so a voi, ma a me sembra quasi un miracolo un bonus sarebbe capire per quale motivo profondo vale proprio quell'uguaglianza con quella condizione...

[Simo_the_wolf]

Hintone:
$a^3+3b^2+5\ge 3(ab+a+1)$

Uhm... Porto tutto a sinistra e la mia funzione $f(a,b) \geq 0$ è una bella parabola in $b$ che ha minimo in $\frac a2$ e quindi sapendo che $f(1,1)=0$, allora sicuramente $f(1, \frac 12) < 0$ darà la disuguaglianza sbagliata (questo controllo è sempre bene farlo, quando si hanno funzioni di sencondo grado in mezzo.

[Nabir Albar]

$abc=1 \Rightarrow \displaystyle\sum_{cyc} \dfrac{1}{ab+b+1}=1$
che, non so a voi, ma a me sembra quasi un miracolo

Con $a=\frac{x}{y},\ b=\frac{y}{z},\ c=\frac{z}{x}$ è già meno miracoloso