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Un polinomio è definito di "pari-dispari" se è: non costante, monico, a coefficienti interi, ogni coefficiente pari è seguito da un coefficiente dispari, ogni coefficiente dispari è seguito da un coefficiente pari.

Dimostrare che se un polinomio "pari-dispari" può essere espresso come prodotto di due polinomi "pari-dispari", allora ha almeno una radice intera.

C'è qualcosa che non mi quadra: se prendo due polinomi pari-dispari irriducibili di grado 2, il loro prodotto sarà un polinomio e non avrà ovviamente radici intere.

Chiedo venia, anche il polinomio in questione è pari-dispari (ho editato il testo)..

Forse non ho capito il testo o il testo è poco chiaro (ultimamente mi succede), ma penso di avere un controesempio: $ (x^2+6x+7)(x^2-6x+7)=x^4-22x^2+49 $.

i coefficienti sono 1 0 22 0 49, quindi non è un polinomio pari-dispari.

In questo caso se entrambi i polinomi pari-dispari hanno grado >1, il terzo coefficiente del prodotto non può essere dispari perché si ottiene, tramite la formula di Cauchy (era sua? boh), come somma di due dispari e un pari. Insomma, se un polinomio comincia con $ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2} $ e l'altro comincia con $ x^m+b_{m-1}x^{m-1}+b_{m-2}x^{m-2} $ allora il terzo termine del prodotto è $ (a_{n-2}+b_{m-2}+a_{n-1}b_{m-1})x^{m+n-2} $.
Dunque almeno uno dei polinomi ha grado al più 1, ma dato che i polinomi sono monici e non costanti tale polinomio deve essere della forma x-k, ovvero k è radice intera del prodotto dei due polinomi.

Anér ha scritto:In questo caso se entrambi i polinomi pari-dispari hanno grado >1, il terzo coefficiente del prodotto non può essere dispari perché si ottiene, tramite la formula di Cauchy (era sua? boh), come somma di due dispari e un pari. Insomma, se un polinomio comincia con $ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2} $ e l'altro comincia con $ x^m+b_{m-1}x^{m-1}+b_{m-2}x^{m-2} $ allora il terzo termine del prodotto è $ (a_{n-2}+b_{m-2}+a_{n-1}b_{m-1})x^{m+n-2} $.
Dunque almeno uno dei polinomi ha grado al più 1, ma dato che i polinomi sono monici e non costanti tale polinomio deve essere della forma x-k, ovvero k è radice intera del prodotto dei due polinomi.

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