staffetta problema 39

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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patatone
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staffetta problema 39

Messaggio da patatone » 04 mar 2011, 20:28

Siano a,b,c reali positivi tali che $abc\le a+b+c$. Dimostrare che:
$a^2+b^2+c^2\ge \sqrt 3abc$
Come i precedenti anche questo non è troppo difficile, quindi tentate numerosi :D

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fraboz
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Re: staffetta problema 39

Messaggio da fraboz » 07 mar 2011, 20:34

scusate ragazzi (sono nuovo e inesperto) ma è corretto se pongo che $ a, b, c $ sono lati di un triangolo e soddisfano queste condizioni $ \displaystyle \frac{a+b}2\geq \ c , \frac{a+c}2\geq \ b , \frac{b+c}2\geq \ a $ ?

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phi
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Re: staffetta problema 39

Messaggio da phi » 07 mar 2011, 23:12

Mmmmh puoi dire come ti è venuto in mente di porre quelle due condizioni? Nessuna delle due discende dalle ipotesi del problema di patatone.
In particolare la seconda è estremamente restrittiva: mi risulta che implichi direttamente $a=b=c$! (Riesci a vedere perché?)
Perciò non direi che sia corretto; o meglio, puoi fare quello che vuoi... purché poi dimostri il problema per tutte le terne positive con $a+b+c\geq abc$, che sono ben di più! :P

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Anér
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Re: staffetta problema 39

Messaggio da Anér » 08 mar 2011, 11:09

Io cercherei di omogeneizzare la disuguaglianza usando l'ipotesi: la tesi ha grado 2 a sinistra e 3 a destra, mentre l'ipotesi ha grado 3 a sinistra e 1 a destra. È chiaro che se eleviamo a qualche potenza positiva RHS e LHS della tesi (o delle ipotesi) otteniamo un problema equivalente, quindi riscriviamo la tesi come $ (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3a^2b^2c^2 $. Ora abbiamo di bello che a sinistra il grado è 4 e a destra è 6, dunque la differenza fa 2 che è proprio la stessa differenza dei gradi delle ipotesi; perciò moltiplichiamo a sinistra per $ abc $ e a destra per $ a+b+c $. In questo modo otteniamo una tesi che da un lato è più forte (perché con questa operazione abbiamo in un certo senso fatto un favore alla parte destra della tesi, moltiplicandola per una quantità maggiore o uguale), dall'altro è omogenea di grado 7. Otteniamo infatti come nuova tesi $ (a^2+b^2+c^2)^2abc\geq 3a^2b^2c^2(a+b+c) $. La fortuna aiuta gli audaci e possiamo semplificare abc da entrambe le parti. La tesi diventa $ (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3abc(a+b+c) $ e questa è vera per mille motivi; ad esempio perché
$ (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)\overset{QM-AM}{\geq} \frac{(a+b+c)(a+b+c)}{3}\frac{(a+b+c)(a+b+c)}{3}\overset{AM-GM}{\geq} $
$ \geq(a+b+c)3\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{abc}=3(a+b+c)abc $.
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fraboz
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Re: staffetta problema 39

Messaggio da fraboz » 08 mar 2011, 18:09

phi hai assolutamente ragione. mi ero incartato con i calcoli ( :oops: )

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Anér
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Re: staffetta problema 39

Messaggio da Anér » 08 mar 2011, 18:24

Il prossimo problema è qui.
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patatone
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Re: staffetta problema 39

Messaggio da patatone » 09 mar 2011, 19:38

la soluzione di aner è molto bella ed ovviamente giusta! Metto anche la mia perchè è diversa...
Io avevo distinto 2 casi:
1) $abc\le 3\sqrt 3$
allora $\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge 3abc^{\frac 2 3}\ge \sqrt 3 abc$ per AM-GM
2)$abc\ge 3\sqrt 3$
allora $\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c)^2}3\ge \frac{(abc)^2}3\ge \sqrt 3abc$
dove ho usato prima QM-AM e poi l'ipotesi

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Anér
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Re: staffetta problema 39

Messaggio da Anér » 11 mar 2011, 09:40

Anche la tua soluzione funziona bene, bella l'idea di distinguere i casi.
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