Visto che questo a suo tempo fu risolto abbastanza in fretta, propongo una generalizzazione.
Sia $ S $ un sottoinsieme infinito dei naturali. Diciamo che un polinomio è meraviglioso se tutti i suoi monomi hanno grado appartenente a $ S $. Sia $ p\in\mathbb{R}[x] $ un polinomio a coefficienti reali. Dimostrare che esiste $ q\in\mathbb{R}[x] $ diverso dal polinomio nullo tale $ pq $ è meraviglioso.
40. Polinomi meravigliosi (staffetta)
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Sono il cuoco della nazionale!
Re: 40. Polinomi meravigliosi (staffetta)
Va bè, nessuno risponde.. Allora provo io 
Bon (citazione alla dario2994, te la copio perché tu copi il mio modo di bere),
per il Teorema di Van Der Waerden, essendo S infinito, esiste una progressione aritmetica arbitrariamente lunga di elementi di $ S $. Siano $(a,a+k,a+2k,a+3k,.. )$ questi tantissimi elementi di $ S $. Per il problema 38 esiste un polinomio $r$ tale che $pr$ è raffinato , quindi $pr$ ha tutti i monomi multipli di $k$. Prendendo $q(x)=x^ar(x)$ e prendendo la progressione aritmetica sufficientemente lunga, ci meravigliamo del meraviglioso prodotto
(in realtà basterebbe una progressione aritmetica lunga $deg(p)$, quindi ci basta che $|S|\ge W(2,deg(p))$ )
Bon (citazione alla dario2994, te la copio perché tu copi il mio modo di bere),
per il Teorema di Van Der Waerden, essendo S infinito, esiste una progressione aritmetica arbitrariamente lunga di elementi di $ S $. Siano $(a,a+k,a+2k,a+3k,.. )$ questi tantissimi elementi di $ S $. Per il problema 38 esiste un polinomio $r$ tale che $pr$ è raffinato , quindi $pr$ ha tutti i monomi multipli di $k$. Prendendo $q(x)=x^ar(x)$ e prendendo la progressione aritmetica sufficientemente lunga, ci meravigliamo del meraviglioso prodotto
(in realtà basterebbe una progressione aritmetica lunga $deg(p)$, quindi ci basta che $|S|\ge W(2,deg(p))$ )
CUCCIOLO
Re: 40. Polinomi meravigliosi (staffetta)
trovami una progressione aritmetica di lunghezza 3 in $\{1,2,4,8,16,...\}$Federiko ha scritto:[...]per il Teorema di Van Der Waerden, essendo S infinito, esiste una progressione aritmetica arbitrariamente lunga di elementi di $ S $.
il teorema di van der waerden dice che c'è una progressione aritmetica in $S$ o nel complementare di $S$.
Re: 40. Polinomi meravigliosi (staffetta)
Va bene, ci ho pensato ancora ma non sono riuscito ad aggiustare la soluzione elegante. Quindi procedo con quella bovina
Notazioni:
$$p(x)=\sum_{i=0}^d a_ix^i \ \ ;\ \ q(x)=\sum_{i=0}^{f}b_ix^i$$
Scelgo $f=deg(q)$ tale che $\displaystyle |\{ x\in S , 0\le x\le f\}|\ge d+1 $. Esiste perché $S$ è infinito.
$$p(x)q(x)=\sum_{i=0}^{d+f}c_ix^i$$
con
$$c_i=\sum_{k=0}^d a_k b_{i-k}$$
(consideriamo per evitare scocciature che i coefficienti con pedice negativo o maggiore del grado sono zero).
Devo imporre $c_i=0 \forall i\in (\{0,1,2,..., d+f\}\setminus S)$. Questo è un sistema omogeneo di equazioni lineari con incognite i $b_i$. Abbiamo quindi $f+1$ incognite e un numero di equazioni $\le f+d+1-(d+1)=f$ , per scelta di $f$. Il numero di equazioni è strettamente minore del numero delle incognite; il sistema è omogeneo, quindi per non so quale teorema (forse Rouché-Capelli) c'è una soluzione non triviale.
Notazioni:
$$p(x)=\sum_{i=0}^d a_ix^i \ \ ;\ \ q(x)=\sum_{i=0}^{f}b_ix^i$$
Scelgo $f=deg(q)$ tale che $\displaystyle |\{ x\in S , 0\le x\le f\}|\ge d+1 $. Esiste perché $S$ è infinito.
$$p(x)q(x)=\sum_{i=0}^{d+f}c_ix^i$$
con
$$c_i=\sum_{k=0}^d a_k b_{i-k}$$
(consideriamo per evitare scocciature che i coefficienti con pedice negativo o maggiore del grado sono zero).
Devo imporre $c_i=0 \forall i\in (\{0,1,2,..., d+f\}\setminus S)$. Questo è un sistema omogeneo di equazioni lineari con incognite i $b_i$. Abbiamo quindi $f+1$ incognite e un numero di equazioni $\le f+d+1-(d+1)=f$ , per scelta di $f$. Il numero di equazioni è strettamente minore del numero delle incognite; il sistema è omogeneo, quindi per non so quale teorema (forse Rouché-Capelli) c'è una soluzione non triviale.
CUCCIOLO
Re: 40. Polinomi meravigliosi (staffetta)
Va benone, proponi pure il prossimo.
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