Staffetta 42 confronto successioni

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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paga92aren
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Staffetta 42 confronto successioni

Messaggio da paga92aren » 15 mar 2011, 19:04

Per ogni $x_1\in [0,1)$, data la successione se$x_n \not=0$ allora $x_{n+1}=\frac{1}{x_n}-\lfloor \frac{1}{x_n}\rfloor \forall n\geq 1$ altrimenti $x_{n+1}=0$, dimostrare che:
$$\sum_{i=1}^n x_i<\sum_{i=1}^n \frac{F_i}{F_{i+1}} $$
dove $F_i$ è la successione di Fibonacci.

spugna
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Re: Staffetta 42 confronto successioni

Messaggio da spugna » 19 mar 2011, 19:18

(Legenda: $ S_n = $ somma dei primi n termini)

Se i primi n termini sono tutti diversi da 0, possiamo dimostrare per induzione che il valore massimo di $ S_n $ aumenta con l'aumentare di $ x_n $: per $ n=2 $, fissato $ x_2 $, il valore massimo di $ x_1 $ è $ \dfrac{1}{x_2+1} $, da cui $ S_2 \le x_2+\dfrac{1}{x_2+1} $. La funzione al secondo membro è crescente nell'intervallo [0,1), quindi la somma è massima quando $ x_2 $ è massimo. (*)
Passo induttivo: supponendo che il lemma valga per un certo n, fissiamo $ x_{n+1} $: per ipotesi induttiva, per massimizzare $ S_n $ dobbiamo massimizzare $ x_n $, che quindi dovrà valere $ \dfrac{1}{x_{n+1}+1} $. Ora bisogna massimizzare $ S_{n-1} $, quindi $ x_{n-1}=\dfrac{1}{x_n+1} $, e così via. Resta da dimostrare che se aumenta $ x_{n+1} $ aumenta anche il valore massimo di $ S_{n+1} $: consideriamo una sequenza $ y_1,y_2,...y_{n+1} $ analoga a quella in questione, con $ y_{n+1}>x_{n+1} $,da cui segue $ y_n<x_n \Rightarrow y_{n-1}>x_{n-1} \Rightarrow y_{n-2}<x_{n-2} \Rightarrow ... $ Tuttavia, sommando i termini a coppie, si ha (e lo si può dimostrare con la (*)) $ y_{n+1}+y_n>x_{n+1}+x_n $ , $ y_{n-1}+y_{n-2}>x_{n-1}+x_{n-2} $,... A questo punto la somma degli $ y_i $ risulta ovviamente maggiore (se n è pari, $ x_1 $ e $ y_1 $ rimangono soli, ma $ y_1>x_1 $). Ora dobbiamo dimostrare che per ogni $ n \ge 1 $ il valore massimo di $ S_n $ non potrà mai eguagliare la somma al secondo membro, perciò dobbiamo vedere cosa succede se $ x_n \rightarrow 1 $: seguirà
$ x_{n-1} \rightarrow \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2} $

$ x_{n-2} \rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{2}{3} $

$ x_{n-3} \rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{3}{5} $

Si ottengono dunque le stesse frazioni del secondo membro, ma si tratta, alternativamente, di limiti massimi e minimi: ancora una volta ci salva la (*), infatti si avrà $ x_n<1 \Rightarrow x_n+x_{n-1}<1+\dfrac{1}{2} $ , $ x_{n-2}<\dfrac{2}{3} \Rightarrow x_{n-2}+x_{n-3}<\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{5} $ , eccetera. Sommando membro a membro ottengo la tesi.

Se invece nella successione compaiono termini nulli, chiamo k l'intero tale che $ x_k \neq 0 \wedge x_{k+1}=0 $: per $ n \le k $, la dimostrazione è analoga; per $ n>k $ il secondo membro della tesi aumenta, mentre il primo resta invariato (perchè si aggiungono termini nulli) C.V.D.

Va bene? Comunque gran bel problema!! :wink:
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

paga92aren
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Re: Staffetta 42 confronto successioni

Messaggio da paga92aren » 19 mar 2011, 21:22

Mi sembra giusta, viene dalla short list IMO 92.
Vai col prossimo!!!

spugna
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Re: Staffetta 42 confronto successioni

Messaggio da spugna » 21 mar 2011, 22:19

paga92aren ha scritto:viene dalla short list IMO 92.
Non mi dire, ho davvero risolto un IMO?? Questa sì che è una notizia!! :lol:
In ogni caso, ecco il problema 43
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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