Staffetta 44 - Funzionale

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gigi95
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Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da Gigi95 » 23 mar 2011, 15:32

Problema 44:

Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ che soddisfano:
i) $ f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) $
ii) $ f(1)=1 $

Buon lavoro.
[tex] \lambda \upsilon \iota \varsigma [/tex]

amatrix92
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Re: Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da amatrix92 » 23 mar 2011, 16:09

Scrivo questo post più che altro per capire come fare le funzionali e quali sono gli erori concettuali che faccio. premetto che è la prima volta che tento di risolverne una.

Sostituendo $ x=1 $ ottengo $ f(y+f(1))= f(y) + f(1) \implies f(y+1) = f(y) + 1 $

A questo punto se la funzione fosse iniettiva credo che potrei concludere che l'unica soluzione è $ f(x)= x $

Però credo che questo problema si aggiusti se pongo $ y=1 $ ottengo $ f(x+f(x) ) = x + f(x) $ che posto $ f(x) + x = K $ equivale a dire $ F(K) = K $.

non siate troppo cattivi :roll:
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Giuseppe R
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Re: Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da Giuseppe R » 23 mar 2011, 16:15

amatrix92 ha scritto:Scrivo questo post più che altro per capire come fare le funzionali e quali sono gli erori concettuali che faccio. premetto che è la prima volta che tento di risolverne una.

Sostituendo $ x=1 $ ottengo $ f(y+f(1))= f(y) + f(1) \implies f(y+1) = f(y) + 1 $

A questo punto se la funzione fosse iniettiva credo che potrei concludere che l'unica soluzione è $ f(x)= x $

Però credo che questo problema si aggiusti se pongo $ y=1 $ ottengo $ f(x+f(x) ) = x + f(x) $ che posto $ f(x) + x = K $ equivale a dire $ F(K) = K $.

non siate troppo cattivi :roll:
L'hai dimostrato solo per i K esprimibili come f(x)+x...
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

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fraboz
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Re: Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da fraboz » 23 mar 2011, 20:10

allora abbiamo che :
$ f(t+1)=f(t)+1 $ e $ f(t+f(t))=t+f(t) $ da cui deduco che è un'equazione biiettiva.
Sfrutto la biiettività e riscrivo $ f(t+f(t))=f(t)+f(f(t)) $ che è un'equazione di Cauchy di I tipo e quindi $ f(t)= \lambda\ t $ con $ \lambda\in \mathbb\ R $.
adesso abbiamo dalla prima equazione che $ \lambda \ (t+1)= \lambda \ t+1 $ da cui $ \lambda \ =1 $ e dunque $ f(t)=t $

anche per me è una delle prime funzionali quindi siate clementi :roll:

Gigi95
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Re: Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da Gigi95 » 23 mar 2011, 21:35

fraboz ha scritto:f(t+f(t))=t+f(t) da cui deduco che è un'equazione biiettiva.
Come ottieni la biiettività?
fraboz ha scritto:f(t+f(t))=f(t)+f(f(t))
Come ci arrivi?
fraboz ha scritto:che è un'equazione di Cauchy
Sicuro di non aver tralasciato qualche piccolo dettaglio?
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fraboz
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Re: Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da fraboz » 24 mar 2011, 14:17

hai ragione ho fatto lo stesso errore di amatrix solo che io ci ho girato attorno :oops:

paga92aren
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Re: Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da paga92aren » 24 mar 2011, 15:57

nascondo la soluzione per chi vuole ancora risolverlo:
Testo nascosto:
Ignoro la seconda condizione e pongo $x=0$ da cui $f(f(0))=f(0)$
Sostituisco $x=f(0) y=0$ da cui $f(f(0))=f(0)^2+f(0)$ che messo a sistema con l'equazione sopra mi dà $f(0)^2=0 \Longleftrightarrow f(0)=0$
Ora pongo $y=0$ e ottengo $f(f(x))=f(x)$ e poi pongo (nell'equazione iniziale) $y=f(x)$ e ottengo $f((x+1)f(x))=(x+1)f(x)$, poi pongo $x=f(x)$ e ottengo $f((y+1)f(x))=(f(y)+1)f(x)$(1), infine pongo nell'equazione 1 $y=x$ e ottengo $(f(x)+1)f(x)=f((x+1)f(x)=(x+1)f(x)$ da cui si deduce che se $f(x)\not =0$ allora $f(x)=x$.
Ipotizzo che $f(a)=0$ allora voglio dimostrare che $a=0$: pongo nell'equazione iniziale $x=a\; y=1$ e ottengo $f(a)=0=af(1)$ (potrei concludere con $f(1)=1$ ma ho detto all'inizio che non usavo la seconda ipotesi).
Quindi ho due casi: se $f(1)\not =0$ allora $a=0$ da cui concludo che $f(x)=x$ per ogni $x$.
Altrimenti $f(1)=0$ quindi pongo in 1 $y=-1$ e ottengo $0=f(x)(f(-1)+1)$ da cui si deduce che $f(x)=0$ per ogni $x\not = -1$ (e si verifica facilmente che $f(-1)=0$) oppure $f(-1)=-1$ Quindi pongo in 1 $x=-1 \; y=1$ e ottengo $f(-2)=f(-1)=-1$ che è assurdo perché avevo dimostrato che $f(x)=0,x$
Quindi le uniche soluzioni sono $f(x)=x$ e $f(x)=0$ (se aggiungo la seconda condizione si elimina la seconda soluzione).

paga92aren
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Re: Staffetta 44 - Funzionale

Messaggio da paga92aren » 25 mar 2011, 16:27

Se è giusto posto qui il prossimo problema

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