Problema 44:
Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ che soddisfano:
i) $ f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) $
ii) $ f(1)=1 $
Buon lavoro.
Staffetta 44 - Funzionale
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[tex] \lambda \upsilon \iota \varsigma [/tex]
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Scrivo questo post più che altro per capire come fare le funzionali e quali sono gli erori concettuali che faccio. premetto che è la prima volta che tento di risolverne una.
Sostituendo $ x=1 $ ottengo $ f(y+f(1))= f(y) + f(1) \implies f(y+1) = f(y) + 1 $
A questo punto se la funzione fosse iniettiva credo che potrei concludere che l'unica soluzione è $ f(x)= x $
Però credo che questo problema si aggiusti se pongo $ y=1 $ ottengo $ f(x+f(x) ) = x + f(x) $ che posto $ f(x) + x = K $ equivale a dire $ F(K) = K $.
non siate troppo cattivi
Sostituendo $ x=1 $ ottengo $ f(y+f(1))= f(y) + f(1) \implies f(y+1) = f(y) + 1 $
A questo punto se la funzione fosse iniettiva credo che potrei concludere che l'unica soluzione è $ f(x)= x $
Però credo che questo problema si aggiusti se pongo $ y=1 $ ottengo $ f(x+f(x) ) = x + f(x) $ che posto $ f(x) + x = K $ equivale a dire $ F(K) = K $.
non siate troppo cattivi
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
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Re: Staffetta 44 - Funzionale
L'hai dimostrato solo per i K esprimibili come f(x)+x...amatrix92 ha scritto:Scrivo questo post più che altro per capire come fare le funzionali e quali sono gli erori concettuali che faccio. premetto che è la prima volta che tento di risolverne una.
Sostituendo $ x=1 $ ottengo $ f(y+f(1))= f(y) + f(1) \implies f(y+1) = f(y) + 1 $
A questo punto se la funzione fosse iniettiva credo che potrei concludere che l'unica soluzione è $ f(x)= x $
Però credo che questo problema si aggiusti se pongo $ y=1 $ ottengo $ f(x+f(x) ) = x + f(x) $ che posto $ f(x) + x = K $ equivale a dire $ F(K) = K $.
non siate troppo cattivi
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
Re: Staffetta 44 - Funzionale
allora abbiamo che :
$ f(t+1)=f(t)+1 $ e $ f(t+f(t))=t+f(t) $ da cui deduco che è un'equazione biiettiva.
Sfrutto la biiettività e riscrivo $ f(t+f(t))=f(t)+f(f(t)) $ che è un'equazione di Cauchy di I tipo e quindi $ f(t)= \lambda\ t $ con $ \lambda\in \mathbb\ R $.
adesso abbiamo dalla prima equazione che $ \lambda \ (t+1)= \lambda \ t+1 $ da cui $ \lambda \ =1 $ e dunque $ f(t)=t $
anche per me è una delle prime funzionali quindi siate clementi
$ f(t+1)=f(t)+1 $ e $ f(t+f(t))=t+f(t) $ da cui deduco che è un'equazione biiettiva.
Sfrutto la biiettività e riscrivo $ f(t+f(t))=f(t)+f(f(t)) $ che è un'equazione di Cauchy di I tipo e quindi $ f(t)= \lambda\ t $ con $ \lambda\in \mathbb\ R $.
adesso abbiamo dalla prima equazione che $ \lambda \ (t+1)= \lambda \ t+1 $ da cui $ \lambda \ =1 $ e dunque $ f(t)=t $
anche per me è una delle prime funzionali quindi siate clementi
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Come ottieni la biiettività?fraboz ha scritto:f(t+f(t))=t+f(t) da cui deduco che è un'equazione biiettiva.
Come ci arrivi?fraboz ha scritto:f(t+f(t))=f(t)+f(f(t))
Sicuro di non aver tralasciato qualche piccolo dettaglio?fraboz ha scritto:che è un'equazione di Cauchy
[tex] \lambda \upsilon \iota \varsigma [/tex]
Re: Staffetta 44 - Funzionale
hai ragione ho fatto lo stesso errore di amatrix solo che io ci ho girato attorno
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Re: Staffetta 44 - Funzionale
nascondo la soluzione per chi vuole ancora risolverlo:
Testo nascosto:
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Re: Staffetta 44 - Funzionale
Se è giusto posto qui il prossimo problema