Un "lemma trigonometrico" da J.-P. Serre

[Ani-sama]

Sia $m$ un intero positivo dispari. Allora:

\begin{equation}
\frac{\sin mx}{\sin x} = (-4)^{(m-1)/2} \prod_{1 \leq j \leq (m-1)/2}\left( \sin^2 x - \sin^2 \frac{2\pi j}{m} \right).
\end{equation}

La fonte è J.-P. Serre, A course in Arithmetic. L'autore assicura che la dimostrazione sia elementare (io non ci ho provato ma di Serre mi fido), dunque... buon lavoro!

[ma_go]

[OT] ok fidarsi di serre, ma fidarsi del concetto di "elementare" di serre potrebbe essere molto pericoloso... [/OT]

[Simo_the_wolf]

Advice: è vero che se $ m $ è dispari allora $ \sin(mx)= P( \sin(x) ) $ dove $ p(y) $ è un polinomio di grado $ m $??

ps se vi interessa, come ulteriore esercizio fissate $ y \in \mathbb{R} $ e prendete $ x_m = y/m $ e mettetelo lì dentro. Poi mandate $ m $ a infinito...

[paga92aren]

Provo a sviluppare un po di conti: $\sin^2 a-\sin^2 b=(\sin a +\sin b)(\sin a- \sin b)=2\sin (\frac{a+b}{2})\cos (\frac{a-b}{2}) 2 \sin (\frac{a-b}{2}) \cos(\frac{a+b}{2})=\sin (a+b) \sin (a-b)$ (prostaferesi e duplicazione)
Sostituisco a $a$ e $b$ con $x$ e $\frac{2\pi j}{m}$ e ottengo $\prod \sin (x+\frac{2\pi j}{m})\sin (x-\frac{2\pi j}{m}+2\pi)=\prod_{j=1}^{m}\sin(x+\frac{2\pi j}{m})$
$$\sin (mx)=(-4)^{\frac{m-1}{2}}\prod_{j=1}^{m}\sin \left( x+\frac{2\pi j}{m}\right)$$
Così è meglio ma poi non so come andare avanti.

[Mist]

Preso per noto che $\displaystyle \sin{x} = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, tenendo a mente che $m$ è dispari, si ha che

$$\displaystyle \prod_{j=1}^{m-1}\sin{\left( x+\frac{2\pi j}{m} \right) } = \prod_{j=1}^{m-1}\frac{e^{ix}e^{\frac{2\pi j}{m}i}-e^{-ix}e^{-\frac{2\pi j}{m}i}}{2i}= \frac{1}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}} \prod_{j=1}^{m-1}e^{-\frac{2\pi j}{m}i}e^{ix}(e^{\frac{4\pi j}{m}i}-e^{-2ix})=$$
$$\displaystyle =\frac{e^{\frac{2\pi(m-1)m}{2m}i}e^{ix(m-1)}}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}} \prod_{j=1}^{m-1}(e^{\frac{4\pi j}{m}i}-e^{-2ix})=\frac{e^{ix(m-1)}}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}} \prod_{j=1}^{m-1}(e^{-ix}-e^{\frac{2\pi j}{m}})\prod_{j=1}^{m}(e^{-ix}+e^{\frac{2\pi j}{m}})$$
Posto $\displaystyle P(x)= \prod_{j=1}^{m-1}(x-e^{\frac{2\pi j}{m}})$ e siccome questo va a zero per ogni x uguale ad una radice $m$-esima dell'unità diversa da $1$, si ha che $\displaystyle P(x) = \frac{x^{m}-1}{x-1}$. Inoltre posto $\displaystyle G(x) =\prod_{j=1}^{m-1}(x+e^{\frac{2\pi j}{m}})$ si ha che, siccome $m$ è dispari, che $P(-x) = G(x)$ e quindi $\displaystyle G(x) = \frac{x^m+1}{x+1}$. Quindi
$$\frac{e^{ix(m-1)}}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}} \prod_{j=1}^{m-1}(e^{-ix}-e^{\frac{2\pi j}{m}})\prod_{j=1}^{m}(e^{-ix}+e^{\frac{2\pi j}{m}}) =\frac{e^{ix(m-1)}}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}} P(e^{-ix})G(e^{-ix}) =\frac{e^{imx}}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}e^{ix}}\cdot \frac{e^{-2ixm}-1}{e^{-2ix}-1} =$$
$$\displaystyle =\frac{1}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}}\frac{e^{imx}-e^{-imx}}{e^{ix}-e^{-ix}} =\frac{1}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}}\cdot \frac{\sin{(mx)}}{\sin{x}}$$

Quindi $\displaystyle \prod_{j=1}^{m-1}\sin{\left( x+\frac{2\pi j}{m} \right) } =\frac{1}{(-4)^{\frac{m-1}{2}}}\cdot \frac{\sin{(mx)}}{\sin{x}} $ che è la tesi