48. Funzionale (staffetta)

[Anér]

Trovare tutte le funzioni $f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tali che per ogni $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ si abbia
$f(x^2+yf(x))=xf(x)+f(xy)$

[patatone]

1)ponendo x=0 abbiamo $f(yf(0))=f(0)$ da cui o f(0)=0 oppure f è costante. Se f è costante si verifica che l'unica costante che verifica è f(x)=0 quindi in entrambi i casi f(0)=0.
2)ponendo y=0 otteniamo $f(x^2)=xf(x)$.
3)ponendo nella 2 $x\rightarrow -x$ otteniamo $-xf(-x)=f(x^2)=xf(x)$ quindi $f(-x)=-f(x)$ ovvero f dispari

Considero ora 2 casi:
-esiste k diverso da 0 tale che f(k)=0. Allora sostituendo nell'equazione iniziale x=k e sfruttando la 2 abbiamo f(ky)=0 e quindi f vale costantemente 0
-non esiste k diverso da 0 tale che f(k)=0. Quindi f(x)=0 se e solo se x=0. Sostituendo nell'equazione iniziale y=-x abbiamo $f(x^2-xf(x))=xf(x)+f(-x^2)=xf(x)-f(x^2)=xf(x)-xf(x)=0$.
Ma allora $x^2-xf(x)=0$ per ogni x reale da cui concludiamo facilmente $f(x)=x$

Concludendo le uniche 2 soluzioni sono $f(x)=x$ per ogni $x\in\mathbb R$ e $f(x)=0$ per ogni $x\in\mathbb R$
Aspetto conferme

[Anér]

Buono, vai con il prossimo problema.