Disuguaglianza - Staffetta 50

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Sonner
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Disuguaglianza - Staffetta 50

Messaggio da Sonner » 20 lug 2011, 11:46

Se $x,y,z\geq 1$ allora:

$$(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)(z^2-2z+2)\leq x^2y^2z^2-2xyz+2$$

Mist
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Re: Disuguaglianza - Staffetta 50

Messaggio da Mist » 20 lug 2011, 16:02

Boh, mi sembra strana come soluzione, ma vediamo...

in primis riscrivo $x^2-2x+2 = (x-1)^2+1$.
La espressione di partenza diventa
$$[(x-1)^2+1][(y-1)^2+1][(z-1)^2+1] =$$
$$ (x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2 +(x-1)^2(y-1)^2 +(x-1)^2(z-1)^2 +(y-1)^2(z-1)^2+(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2 +1$$

Pongo $a= (x-1)^2$, $b= (y-1)^2$, $c= (z-1)^2$ e l'espressione sopra diventa $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$
Miracolosamente si verifica anche che $(xyz-1)^2+1 = (\sqrt{abc} + \sqrt{ab} +\sqrt{bc}+ \sqrt{ac}+ \sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} )^2 +1$.
Si deve avere quindi che $abc+ab+bc+ca+a+b+c \leq (\sqrt{abc} + \sqrt{ab} +\sqrt{bc}+ \sqrt{ac}+ \sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} )^2 $
che è evidentemente vera.

Aspetto smentite o conferme...
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Sonner
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Re: Disuguaglianza - Staffetta 50

Messaggio da Sonner » 20 lug 2011, 21:09

OK vai pure col prossimo :P

Mist
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Re: Disuguaglianza - Staffetta 50

Messaggio da Mist » 20 lug 2011, 21:48

qui il prossimo problema :D
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
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"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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