Sistema Staffetta 51

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mist
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Messaggio da Mist » 20 lug 2011, 21:46

Risolvere
$$\displaystyle \begin{cases}x^2+xy+\frac{y^2}{3} =25 \\ \frac{y^2}{3}+z^2=9 \\ z^2+zx+x^2 = 16 \\ \end{cases}$$

con $x,y$ e $z$ reali positivi.
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patatone
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da patatone » 21 lug 2011, 00:42

boh probabilmente esiste una soluzione più bella della mia, che di olimpico ha ben poco ed anche il risultato finale è brutto!
Chiamo le tre equazioni 1), 2) e 3)
usando 1 e 2 ottengo $x^2+xy-z^2=16$ 4)
usando 3 e 4 ottengo $2z^2+xz=xy$. Elevando al quadrato quest'ultima e ricordando che dalla 2) $y^2=27-3z^2$ ottengo
$4z^2(x^2+xz+z^2)=27x^2$ quindi usando di nuovo la 3 ho $64z^2=27x^2$ ovvero $x=\frac 8 9\sqrt 3 z$.
Ora posso quindi ricavare il valore di z che è $\displaystyle z=12\sqrt{\frac 3{91+24\sqrt 3}}$ e di conseguenza mi ricavo x e y.

Mist
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da Mist » 21 lug 2011, 01:01

:oops: :oops: :oops: chiedo scusa tantissimo, mi ero scordato di dire che si chiede di trovare $xy+2yz+3zx$ :oops: scusami...
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da patatone » 21 lug 2011, 13:22

a questo punto mi sono già ricavato x,y,z... quindi faccio un po' di contacci e viene che $xy+2yz+3xz=24\sqrt 3$
La soluzione bella? :lol:

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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da Mist » 21 lug 2011, 13:36

:D beh...
Testo nascosto:
Carnot, pitagora... Nessun numero è messo a caso ;)
Vai pure col prossimo comunque :)
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da patatone » 21 lug 2011, 14:28

ah ho capito! x,z e $\frac y{\sqrt 3}$ rappresentano 3 congiungenti i vertici di un triangolo rettangolo di lati 3,4,5 ad un punto interno... ed alla fine si scopre che xy+2yz+3xz rappresenta $4\sqrt 3A$ dove A è l'area del triangolo!

Un'idea veramente molto difficile da farsi venire però!! La mia soluzione è molto brutta ma almeno ha il vantaggio di essere alla portata di chiunque dato che si tratta di banali passaggi algebrici e poche idee :lol:

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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da Mist » 21 lug 2011, 14:37

yep :D ma tanto valeva metterla sul forum prima o poi, insegna che bisogna considerare anche un interpretazione geometrica delle idee ogni tanto, è presa dall'engel appunto,,, sono rimasto molto colpito quando l'ho letta, ha del miracoloso
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da Mist » 18 set 2011, 16:00

Qualcuno posterebbe il prossimo problema perfavore ?
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da jordan » 21 set 2011, 20:34

Mist ha scritto:Qualcuno posterebbe il prossimo problema perfavore ?
scegli chi deve postarla..
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da Mist » 21 set 2011, 20:34

pensaci te a questo punto
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Re: Sistema Staffetta 51

Messaggio da jordan » 24 set 2011, 07:36

Mist ha scritto:pensaci te a questo punto
non c'entravo niente, ma come vuoi viewtopic.php?f=13&t=16350 ;)
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