disuguaglianza su polinomio. staffetta 52
disuguaglianza su polinomio. staffetta 52
Sia $p(x):=\displaystyle \sum_{0\le i\le 3}{a_ix^i} \in \mathbb{R}[x]$. Mostrare che se $|p(x)|\le 1$ per ogni $|x|\le 1$, allora $\displaystyle \sum_{0\le i\le 3}{|a_i|}\le 7$.
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Re: disuguaglianza su polinomio. staffetta 52
Provo a risuscitare questa staffetta.
Valutiamo $p(x)$ nei punti $\pm 1$ e $\pm 2^{-1}$. Mettendo a sistema le relazioni così ottenute, con semplici passaggi algebrici, si ha che
$\displaystyle a_0=-6^{-1}(p(1)+p(-1))+2\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})+p(-2^{-1}))$
$\displaystyle a_1=-6^{-1}(p(1)-p(-1))+4\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})-p(-2^{-1}))$
$\displaystyle a_2=2\cdot 3^{-1}(p(1)+p(-1))-2\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})+p(-2^{-1}))$
$\displaystyle a_3=2\cdot 3^{-1}(p(1)-p(-1))-4\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})-p(-2^{-1}))$
Dunque, per la disuguaglianza triangolare,
\begin{align*}
\sum_{0\le i\le 3}{|a_i|} &\le (6^{-1}+2\cdot 3^{-1})\left(|p(1)+p(-1)|+|p(1)-p(-1)|\right)+4\cdot 3^{-1}\left(|p(2^{-1})+p(-2^{-1})|+2|p(2^{-1})-p(-2^{-1})|\right) \\
&\le 5\cdot 6^{-1}\cdot 2+4\cdot 3^{-1}\cdot 4= 7.
\end{align*}
\qed
Si osservi inoltre che l'upper bound è ottimale: si prenda ad esempio $p(x)=4x^3-3x$.
Aspetto conferme\smentite.
Valutiamo $p(x)$ nei punti $\pm 1$ e $\pm 2^{-1}$. Mettendo a sistema le relazioni così ottenute, con semplici passaggi algebrici, si ha che
$\displaystyle a_0=-6^{-1}(p(1)+p(-1))+2\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})+p(-2^{-1}))$
$\displaystyle a_1=-6^{-1}(p(1)-p(-1))+4\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})-p(-2^{-1}))$
$\displaystyle a_2=2\cdot 3^{-1}(p(1)+p(-1))-2\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})+p(-2^{-1}))$
$\displaystyle a_3=2\cdot 3^{-1}(p(1)-p(-1))-4\cdot 3^{-1}(p(2^{-1})-p(-2^{-1}))$
Dunque, per la disuguaglianza triangolare,
\begin{align*}
\sum_{0\le i\le 3}{|a_i|} &\le (6^{-1}+2\cdot 3^{-1})\left(|p(1)+p(-1)|+|p(1)-p(-1)|\right)+4\cdot 3^{-1}\left(|p(2^{-1})+p(-2^{-1})|+2|p(2^{-1})-p(-2^{-1})|\right) \\
&\le 5\cdot 6^{-1}\cdot 2+4\cdot 3^{-1}\cdot 4= 7.
\end{align*}
\qed
Si osservi inoltre che l'upper bound è ottimale: si prenda ad esempio $p(x)=4x^3-3x$.
Aspetto conferme\smentite.
Re: disuguaglianza su polinomio. staffetta 52
Si, va bene vai col prossimo
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