Una disuguaglianza [TST Italiano 2009]

[bĕlcōlŏn]

Sia $P(x)$ un polinomio monico di grado $n$ pari, che abbia tutte radice reali. Scelgo un certo $\alpha > 0$ tale che $P(x) > 0 \forall x < \alpha$. Dimostrare che $\sqrt[n]{P(0)} - \sqrt[n]{P(\alpha)} \geq \alpha$.

[Di questo ho solo una soluzione che passa per le derivate, non ho provato a risolverlo senza]

[kalu]

Sbaglio o $ \alpha $ non esiste per tutti i polinomi? Dobbiamo considerare solo dei polinomi (monici, di secondo grado, con radici tutte reali) per cui esista $ \alpha $?

[dario2994]

Sbaglio o $ \alpha $ non esiste per tutti i polinomi? Dobbiamo considerare solo dei polinomi (monici, di secondo grado, con radici tutte reali) per cui esista $ \alpha $?

Devono essere di grado pari, non di secondo grado.
E il testo dice prendi un $P$ ed un $\alpha$ tali che... e quindi è chiaro di per sè. Ma per dare un senso a questo messaggio ti dico: sì! solo i polinomi per cui esiste $\alpha$

[bĕlcōlŏn]

Mi pareva di aver scritto una risposta, ma forse non deve averla inviata perché ho perso la connessione... Ok dario ti ha risposto. Solo una cosa: edito il segno della disuguaglianza che è, invece, un "$\geq$"

[kalu]

Devono essere di grado pari, non di secondo grado.

E' quello che intendevo, ho sbagliato a scrivere
Ciò che volevo dire è che $ \alpha $ esiste solo nel caso le radici del polinomio siano tutte positive, oppure se ogni radice negativa ha molteplicità pari. Infatti in caso contrario, in corrispondenza di una radice negativa di molteplicità dispari la funzione polinomiale cambierebbe segno è dunque non si potrebbe mai avere che sia positiva per tutti i valori negativi di $ x $ (nè tantomeno per quelli minori di un certo $ \alpha $ positivo).
PS: lo so che è un intervento praticamente inutile, ma volevo chiarirmi la traccia

[bĕlcōlŏn]

Non è un intervento inutile, anzi. Quando imparerò a rileggere i testi prima di postarli sarà sempre troppo tardi.

In realtà non è vero questo:

oppure se ogni radice negativa ha molteplicità pari

semplicemente perché il testo corretto è $P(x) > 0 \forall x < a$. Scusate gli errori
Quindi, in altre parole i $P(x)$ che vanno bene sono quelli con radici reali positive, come giustamente fai notare. Ora spero sia tutto più chiaro.

[Sonner]

Chiamo $c_i$ le radici del polinomio (in ordine crescente), che come osservato sopra sono evidentemente tutte positive. Dimostro che la funzione $f(x)=P(x)^{\frac{1}{n}}+x$ è (strettamente) decrescente in $[0,c_1]$. Questo implica la tesi e cioè che $f(0)$ è il max in quell'intervallo. Per farlo... derivata! Siano GM e HM la media geometrica e armonica dei $c_i-x$ con $x$ nell'intervallo (quindi sono tutte quantità positive).

$$f'(x)=1+\frac{1}{n}P(x)^{\frac{1}{n}-1}P'(x)=1+P(x)^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{1}{n} \frac{P'(x)}{P(x)}=1+(\prod (x-c_i))^{\frac{1}{n}}\cdot\sum\frac{1}{x-c_i}=1-\frac{GM}{HM} < 0$$

Nell'ultima uguaglianza ho usato che il numero di radici è pari per dire che il produttone è positivo e il meno è quello dovuto al cambio di segno nella sommatoria, la disuguaglianza finale è proprio GM-HM ed è stretta quando le radici non sono tutte coincidenti (non che serva, per il problema basta il $\leq$).

[bĕlcōlŏn]

Ok, bene! La mia soluzione è diversa, fra un po' scrivo le linee generali. Se qualcuno volesse, proponga altre soluzioni