SNS 1962

[Triarii]

Preso da un SNS vecchissimo (numero 1, non mi pare sia in lista fra quelli con le soluzioni nell'apposito thread)
Dimostrare che, presi due numeri reali a e b, si ha sempre:
$ a^4+b^4 \ge a^3 \cdot b $
Dire quando si ha l’uguaglianza.

[arack]

Vediamo se ho fatto giusto

- Disequazione

$ a^4 + b^4 \geq a^3b = ab(a^2) $

Il caso $ ab < 0 $ è immediato in quanto la somma di due quadrati è sempre maggiore di un numero negativo, assumiamo dunque $ ab \geq 0 $.

$ (a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6 a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \geq 0 $
$ a^4 + b^4 + 6a^2b^2 \geq 4a^3b + 4ab^3 $

Inoltre si ha che $ 6a^2b^2 < 3a^3b + 3ab^3 $, in quanto $ 3ab(a-b)^2 > 0 $.

Cambiando di segno e sommando si ottiene
$ a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3 \geq a^3b $, come volevasi dimostrare.


- Equazione

Se $ a = b $ otteniamo $ 2a^4 = a^4 $, $ a = b = 0 $.

L'equazione può essere scritta come
$ a a^2(a-b) = -b^4 $
$ b(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^4 $

Siccome $ a \neq b $ e $ a^2 + ab + b^2 > 0 $, si ha che
$ a(a-b) < 0 $
$ b(a-b) > 0 $

$ b(a-b) > a(a-b) $
$ (b-a)(a-b) > 0 $
Impossibile.

L'unica soluzione è $ a = b = 0 $.

[Triarii]

Bon mi pare corretto

[auron95]

Una soluzione più brutale: poniamo a e b maggiori o uguali di 0 (gli altri casi sono banali oppure rientrano in questo)
Se $a >b$ allora $a^4+b^4\ge a^4>a^3b$
Se $a<b$ allora $a^4+b^4\ge b^4>a^3b$
Se $a=b$ allora $2a^4\ge a^4$ sempre vera con uguaglianza per a e b nulli.
Scusate se sono stato sintetico ma sto scrivendo da cellulare...

[Tess]

Eh vabbè, allora...
Trovare la migliore costante reale $C$ tale che $a^4+b^4\geq Ca^3b$.

P.s. non è che con questo metodo uno risolveva IMO 2012.2?

[Ido Bovski]

Trovare la migliore costante reale $C$ tale che $a^4+b^4\geq Ca^3b$.

Cosa intendi con la "migliore costante"? Consideri solo il caso $ab>0$? Perché se $ab<0$ la "migliore costante" cambia.

[arack]

Eh vabbè, allora...
Trovare la migliore costante reale $C$ tale che $a^4+b^4\geq Ca^3b$.

P.s. non è che con questo metodo uno risolveva IMO 2012.2?

$ a^4 + b^4 \geq C a^3 b $

$ ab > 0 $, il massimo lo abbiamo quando abbiamo l'uguaglianza, dunque

$ C = \frac{a^4 + b^4}{a^3 b} $

Entrambe le derivate parziali poste uguali a zero danno

$ a^4 = 3 b^4 $

Sostituisco ed ottengo

$ C = \frac{3b^4 + b^4}{(3b^4)^{3/4} b} = \frac{4}{3^{3/4}} $

[Tess]

Intendo la più grande $C$ reale tale che la disuguaglianza è vera per ogni coppia di reali positivi.
In realtà se $ab<0$, $a^3b<0<a^4+b^4$, quindi è verificata per ogni $C\geq 0$. Quindi anche se chiedessi di prendere $a,b\in \mathbb{R}$ la risposta non varierebbe. O mi sto perdendo qualcosa?

[arack]

Intendo la più grande $C$ reale tale che la disuguaglianza è vera per ogni coppia di reali positivi.
In realtà se $ab<0$, $a^3b<0<a^4+b^4$, quindi è verificata per ogni $C\geq 0$. Quindi anche se chiedessi di prendere $a,b\in \mathbb{R}$ la risposta non varierebbe. O mi sto perdendo qualcosa?

Effettivamente hai ragione, vale per ogni $ a, b $

[Ido Bovski]

Intendo la più grande $C$ reale tale che la disuguaglianza è vera per ogni coppia di reali positivi.
In realtà se $ab<0$, $a^3b<0<a^4+b^4$, quindi è verificata per ogni $C\geq 0$. Quindi anche se chiedessi di prendere $a,b\in \mathbb{R}$ la risposta non varierebbe. O mi sto perdendo qualcosa?

Yep, ma se $ab<0$ ha senso dire che la "migliore costante" è $-4/3^{3/4}$, perciò la tua prima formulazione non era molto chiara...