Funzionale Old but Gold

[Ido Bovski]

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tali che
$$f(f(n))=n+2013, \text{ per ogni } n \in \mathbb{Z}.$$

[Albertobucci95]

Non ho mai provato a cimentarmi in funzionali e non so neanche bene come funzionano, ho capito qualcosa: sicuramente la funzione è iniettiva e non so se può essere utile, poi ho trovato alcune funzioni adatte: se il numero $ n $ è pari la funzione aggiunge un intero $ k $ (con $ k=2m+1 $) se invece è dispari aggiunge un altro intero $ 2013-k $. A questo punto la mia domanda è, ho risolto o no il funzionale? Perchè non ho quasi idea di cosa chieda la domanda

[EvaristeG]

In una parola: no.
Quando si cerca di "risolvere un'equazione funzionale", di solito, bisogna trovare delle soluzioni (per tentativi o per fortuna) e poi dimostrare (usando iniettività surgettività ed ogni altro macchinario a disposizione) che quelle soluzioni trovate sono uniche.

[Troleito br00tal]

Fatto I: $f^{(x)}(n) \not= n$ per ogni $x$ intero positivo. Se esistessero $n$ e $x$ siffatti allora esisterebbero cicli, ma $f^{(2y)}=n+2013y$ per ogni $y$ intero positivo, quindi le reiterazioni di $f(n)$ non sono limitate (lo sarebbero se ci fossero dei cicli).

Fatto II: $2013 \not| f^{(2x+1)}(n)-f^{(2y)}(n)$ per assurdo: se fosse vero allora $f^{(2x+1)}(n)= f^{(2y+2k)}(n)$ oppure $f^{(2x+1+2k)}(n)-f^{(2y)}(n)$ per qualche $k$ naturale: assurdo per il Fatto I.

Utilizzando il Fatto II possiamo quindi concludere dicendo che $f^{(2x)}(n) \equiv n \pmod{2013}$ e $f^{(2x+1)}(n) \not\equiv n \pmod{2013}$. Ma allora per ogni classe di resto $a$ modulo $2013$ esiste una classe di resto distinta $b$ tale che $f(a)=b$ e $f(b)=a$. Ma questa è una biezione fra le classi di resto modulo $2013$, che sono dispari, pertanto non esiste funzionale che soddisfa.

[Gottinger95]

L'hai ucciso in modo brutalissimo. E mi è piaciuto.

[Troleito br00tal]

Magari è piaciuto anche a lui

[Chuck Schuldiner]

Breve ma intenso...
in alternativa f è biggiggiettiva, pongo f(x)=y, allora ad esempio per induzione f(x-2013n)=y-2013n per n intero non negativo, ovvero f è l'unione di 2013 rette a coeff angolare 1, ognuna definita per ogni classe di resto mod 2013. Ma poi si nota che se f(a) congruo a b allora f(b) congruo ad a e f(a) non è mai congrua ad a e si finisce allo stesso modo.

[Chuck Schuldiner]

Ma ballo che fine ha fatto la tua firma? 0.0

[Troleito br00tal]

Ho tolto tutto, troppi ricordi... DA FEELS <3 mi mancherai

[Albertobucci95]

Scusate se rompo ancora ma che vuol dire $f^{(2x)}(n)$?

[Troleito br00tal]

$f^{(1)}(n)=f(n)$ e $f^{(x+1)}(n)=f(f^{(x)}(n))$, quindi $f^{(4)}(n)=f(f(f(f(n))))$

[EvaristeG]

Scusate se rompo ancora ma che vuol dire $f^{(2x)}(n)$?

Ti ha già risposto l'autore, ma tant'è ...
$$f^{(2x)}(n)=f(f(f(f\cdots f(n)\cdots)))$$
dove a destra dell'uguale la $f$ compare $2x$ volte.

[Albertobucci95]

Ok inizio a capire la matematica grazie e complimenti per la soluzione