Altre radici dell'unità

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EvaristeG
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Re: Altre radici dell'unità

Messaggio da EvaristeG »

Gottinger95 ha scritto:Bello! Ma questo significa che solo le radici seste, quarte e (vabè) \(\pm1\) hanno parte reale razionale?
Il mondo è ingiusto.
darkcrystal
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Re: Altre radici dell'unità

Messaggio da darkcrystal »

Gottinger95 ha scritto:Bello! Ma questo significa che solo le radici seste, quarte e (vabè) \(\pm1\) hanno parte reale razionale?
Sì!
Gottinger95 ha scritto:Oppure, per il teorema non del tutto ovvio, le radici dell'unità sono interi algebrici, donc una combinazione lineare a coefficienti interi di radici dell'unità è anch'esso intero algebrico. Ancora, gli interi algebrici di modulo 1 sono radici dell'unità (e forse questa è una stronzata), perciò anche "quella somma là" lo è.
Ecco, si, esatto. Ma questo dovrebbe insospettirti, perché allora il punto 2 implicherebbe il punto 3 mooolto banalmente. In realtà, la risposta a (2) è ancora "no" (anche se fare un controesempio non è facilissimo), ma il punto (3) segue, con un po' di lavoro, dall'esercizio originale (e ci ho pensato, non è inarrivabile).
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Gottinger95
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Re: Altre radici dell'unità

Messaggio da Gottinger95 »

Eeh, mi era rimasto in mente quel teorema non del tutto ovvio, e mi è venuta in mente una dimostrazione (che poi insomma, il grosso è dimostrare il teorema di Liouville, nonstante anche la sua dimostrazione non sia troppo complicata). Lo dimostrerò solo per gli algebrici di grado \(\ge 2\), che è la parte più difficile.
Una buona caratterizzazione di un numero algebrico \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) è che esiste un numero \(n \in \mathbb{N}\) (detto grado di \(\alpha\) ) tale che, per ogni approssimazione razionale \(p/q\) di \(\alpha\), valga
\[ \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | > \frac{1}{q^{n+1} } \]
Teorema non del tutto ovvio. Se \(\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) sono algebrici, allora anche \(\alpha_1+\alpha_2\) lo è.
Supponiamo per assurdo che \(\alpha_1 + \alpha_2\) sia trascendente. Allora per ogni \(n \in \mathbb{N}\) deve valere, per qualche \(p/q \in \mathbb{Q}\), che
\[ \left | \alpha_1 + \alpha_2 - \frac{p}{q} \right | \le \frac{1}{q^{n+1} } \]
D'altronde, siano \(a/b, c/d\) due approssimazioni razionali rispettivamente di \(\alpha_1, \alpha_2\) tali che \(a/b+c/d = p/q\), e tali che \( \left | \alpha_1 - a/b \right | < \left|\alpha_1 + \alpha_2 - p/q \right |\). Non saprei dire in modo formale perchè la seconda condizione può essere verificata per un certo \(a/b\), ma l'idea è questa: fissato \(p/q\), e quindi il "grado" con cui approssima \(\alpha_1+\alpha_2\), posso scegliere \(a/b\) vicinisssimo a \(\alpha_1\), e lasciare a \(c/d\) i rimasugli, in modo che il "grado" con cui \(a/b\) approssima \(\alpha_1\) superi il "grado" con cui \(p/q\) approssima \(\alpha_1+\alpha_2\). Sia \(m\) il grado di \(\alpha_1\). Dunque, si ha:
\[ \frac{1}{b^{m+1} } < \left | \alpha_1 - \frac{a}{b} \right | < \left | \alpha_1 +\alpha_2 - \frac{p}{q} \right | \le \frac{1}{q^{n+1} } \]
D'altronde per \(n \to \infty\) si ha \(0 < LHS < RHS \to 0\), assurdo.
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<enigma>
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Re: Altre radici dell'unità

Messaggio da <enigma> »

Non so se capisco male, ma se il teorema non del tutto ovvio è quello che ha linkato darkcrystal, hai dimostrato un'altra cosa. Che la somma di algebrici sia algebrica si mostra senza troppa difficoltà (anzi, $\alpha+\beta$ ha grado al più $\text{deg}\alpha\text{deg}\beta$). La parte più difficile, invece, è mostrare che la somma di interi algebrici è un intero algebrico!

Per mandare avanti il thread, "uccido" la domanda 2:
Testo nascosto:
$\sqrt 2-1+\sqrt{2-2\sqrt2}$
Perché funziona? Come potrei averlo trovato?
Riguardo al punto 3, sarebbe interessante una soluzione senza teoria di Galois.
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Gottinger95
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Re: Altre radici dell'unità

Messaggio da Gottinger95 »

Se fosse di modulo 1, sono d'accordo, infatti, detti \(a= \sqrt{2}-1 , b= \sqrt{2-2\sqrt{2} } \), consideriamo:
\[ p(x) = (x+a+b)(x-a-b)(x+a-b)(x-a+b) = (x^2-(a+b)^2 ) (x^2-(a-b)^2) = \]
\[= x^4 - [ (a+b)^2+(a-b)^2 ] x^2 + (a^2-b^2)^2 = x^4 -2x^2( a^2+b^2) + (a^2-b^2)^2 = x^4 -2x^2+(a^2-b^2)^2 \]
usando il fatto che il modulo è 1. D'altronde \(a^2-b^2 = 1\), perciò \(a+b\) è un intero algebrico. Peccato che ti deve essere sfuggita una \(i\) da qualche parte, perchè non è di modulo 1!
Comunque l'idea è: trovo qualcosa di modulo 1 che si scrive come \(a+b\) tale che \(a^2-b^2 = \sqrt{n} \) per qualche \(n \in \mathbb{N}\): con lo stesso procedimento è un intero algebrico. Mmm adesso per dimostrare che non è radice dell'unità non saprei: o si dimostra che la sua parte reale \(x\) non è algebrica, perciò non può essere radice di nessun polinomio di Chebyshev, perciò non può essere radice dell'unità; oppure che \( arccos(x)/2 (\pi)\) è irrazionale, magari usando lo sviluppo di taylor (quante cavolate sto dicendo...). Comunque boh, senza la \(i\) al posto giusto non saprei azzardare qualcosa di sensato!

P.S. che cretino! E' vero, erano interi algebrici, non algebrici e basta. La questione si fa ben più complicata.
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<enigma>
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Re: Altre radici dell'unità

Messaggio da <enigma> »

Per non allungare inutilmente, mi pronuncio solo sulle affermazioni che hai scritto, per non farti perdere tempo su cose sbagliate :wink:
Gottinger95 ha scritto:non è di modulo 1!
Falso.
Gottinger95 ha scritto:la sua parte reale \(x\) non è algebrica
Falso.
Gottinger95 ha scritto:\( arccos(x)/2 (\pi)\) è irrazionale

Vero.
Gottinger95 ha scritto:E' vero, erano interi algebrici, non algebrici e basta. La questione si fa ben più complicata.
Visto che non l'ho scritto prima, aggiungo anche una dimostrazione di "prodotto di algebrici è algebrico" dal carattere più algebrico. Se $d_1=\text{deg} \alpha$ e $d_2=\text{deg}\beta$, considero i numeri della forma $\alpha^i \beta^j$; basta considerare quelli con $i <d_1$, $j<d_2$ (perché abbasso gli esponenti più alti avvalendomi del polinomio minimo); questo vuol dire che le potenze con esponente di $\alpha$ minore di $d_1$ ed esponente di $\beta$ minore di $d_2$ generano tutto lo spazio dei numeri $\alpha^i \beta^j$. Ma se considero poi $1, \alpha+\beta, (\alpha+\beta)^2, \ldots, (\alpha+\beta)^{d_1d_2}$, che espandendo le potenze si scrivono come combinazione di numeri della forma $\alpha^i \beta^j$, per quanto scritto prima sono $d_1d_2+1$ numeri che stanno nello spazio che ho descritto-che è generato da $d_1d_2$ elementi-e dunque sono linearmente dipendenti. Questo usa in sostanza il fatto che $n+1$ vettori di uno spazio di dimensione $n$ sono linearmente dipendenti.
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Re: Altre radici dell'unità

Messaggio da Gottinger95 »

Oddio che cretino, la maturità mi sta rincoglionendo... certo, \( \sqrt{2-2\sqrt{2} }\) è immaginario, quindi il modulo è 1. Tra l'altro ho scritto una serie di cavolate come \(a^2+b^2=\) modulo di \(z\), che non è vero perchè \( |z| = |a+ i (ib) | = a^2-b^2\). Vabè, lo ricontrollerò, scusate le cacchiate.
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