86. Disuguaglianza malavaagia

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Gottinger95
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Re: 86. Disuguaglianza malavaagia

Messaggio da Gottinger95 » 04 gen 2014, 16:36

Sarebbe l'equivalente di Jensen in due variabili, ossia \( \frac{1}{2} (f(x)+f(y) ) \ge f(\frac{x+y}{2} ) \) diventa
\( \frac{1}{2} ( f(x,y) + f(z,w) ) \ge f( \frac{x+z}{2}, \frac{y+w}{2} ) \)
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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jordan
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Re: 86. Disuguaglianza malavaagia

Messaggio da jordan » 05 gen 2014, 01:52

Gli avevo detto in via privata che la strada HM-AM era corretta, l'ho riprovata adesso e esce col verso sbagliato.. :?

Almeno in due variabili pare corretta
$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+\frac{1}{b}}+\frac{1}{b+\frac{1}{a}}\right) \ge \frac{1}{\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}} \implies \frac{a+b}{2(ab+1)} \ge \frac{2(a+b)}{(a+b)^2+4}$$
che è am-gm. :|
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machete
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Re: 86. Disuguaglianza malavaagia

Messaggio da machete » 12 gen 2014, 21:21

Anche a me era venuta con la convessità in due variabili, ma in altre maniere (non che ne abbia provate molte) no. Dato che è una cosa in generale abbastanza potente mi chiedo: come hai giustificato il fatto che $ f(x,y)=y/(1+xy) $ sia convessa sul primo quadrante? Non mi sembra "intuitivo" (tipo il fatto che la distanza lo sia)! Per quanto sia vero (guardando il grafico). Quello che voglio dire è: come lo si giustifica in modo "olimpico"? (senza l' Hessiano per intenderci).

Vorrei sapere se in generale si possono dire cose tipo "se congelo la $ x $ ed $ f $ è convessa in $ y $ e viceversa, allora $ f $ è convessa in entrambe" oppure basta vedere se $ f(x,mx) $ è convessa in $ x $ per ogni $ m $ (che è più forte della precedente)? Se sì, sotto quali altre ipotesi? Vorrei vederci un po' più chiaro :D
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Gottinger95
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Re: 86. Disuguaglianza malavaagia

Messaggio da Gottinger95 » 13 gen 2014, 23:24

Guarda, io ho fatto così: sinceramente di calcolarmi l'hessiana direttamente non mi sembrava leale, ma ho dimostrato che
1. Se \(f(x_1, \ldots, x_n) \) è convessa, lo è anche \( 1/f(x_1, \ldots, x_n) \) ;
2. Se \( f(x_1, \ldots, x_{n-1} ) \) è convessa, lo è anche \( x_n + f(x_1, \ldots, x_{n-1}) \).
Queste cose l'ho verificate dicendo: ehi se prima l'hessiana era semidefinita positiva lo è anche adesso (se non lo hai mai sentito è tipo troppo più facile di quanto sembra e me ne sono stupito anche io l'altro giorno). Però, forse ( e qui invoco il quartier generale anche io), esiste un nome a questi fatti, che in fondo non sono così assurdi.

Perciò per induzione:
a) \( f_1(x) = 1/x\) è convessa;
a) \( f_n(x_1, \ldots, x_n) = x_1 + 1/f_{n-1}(x_2, \ldots, x_n) \)

Per il fatto di "congelare" le variabili ti posso rispondere che no, non basta che sia convessa in entrambe le variabili.
Prendi \( f(x,y) = a x^2 +bxy+cy^2\) con \(a,c >0\): in entrambe le variabili la derivata seconda è positiva, ma facendo i conti con l'hessiana esce che
se il \(\Delta\) è maggiore di 0 allora la funzione non è convessa. Se vuoi i calcolozzi li posto :)
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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