91. Strabella funzionale
91. Strabella funzionale
Trovare le coppie di funzioni $(f,g)$ che vanno da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ e soddisfano la seguente equazione
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$$
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$$
Re: 91. Strabella funzionale
Solo $(0,0)$?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: 91. Strabella funzionale
È una forte hope, che non si dimostra facilmente, anzi non si dimostra affatto..
Re: 91. Strabella funzionale
In che senso non si dimostra affatto, ne ho persa qualcuna?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: 91. Strabella funzionale
Testo nascosto:
"Problem solving can be learned only by solving problems"
Re: 91. Strabella funzionale
ho trovato
$ f(x)= \frac{a}{a+1} x - \frac{a^2}{a+1} $
$ g(x)=(a+1)f(x)= a x - a^2 $
purtroppo per dimostrarlo ho dovuto supporre che esiste $a$ t. c. $f(a)=0$, però le funzioni che ho trovato sembrano funzionare per ogni $a$ (se non ho sbagliato a fare i conti), quindi ho sbagliato sicuramente qualcosa
$ f(x)= \frac{a}{a+1} x - \frac{a^2}{a+1} $
$ g(x)=(a+1)f(x)= a x - a^2 $
purtroppo per dimostrarlo ho dovuto supporre che esiste $a$ t. c. $f(a)=0$, però le funzioni che ho trovato sembrano funzionare per ogni $a$ (se non ho sbagliato a fare i conti), quindi ho sbagliato sicuramente qualcosa
Re: 91. Strabella funzionale
Beh sei sicuro che hai supposto che esiste $a$ tale che $f(a)=0$? Se fosse cosi, il problema l'hai praticamente risolto.
infatti, basta dimostrare che $f$ è suriettiva e quel $f(x+g(y))$ fa sperare in una suriettività di $f$...
infatti, basta dimostrare che $f$ è suriettiva e quel $f(x+g(y))$ fa sperare in una suriettività di $f$...
Re: 91. Strabella funzionale
@Jordan non ti nascondo che quando l'ho provato stavo cercando di dimostrare la tesi falsa.. Poi dopo un pò l'ho dovuta cambiare..
Re: 91. Strabella funzionale
Pardon
Mi sono accorto adesso di aver scritto f (a)=0 quando intendevo g (a)=0, anche perché è semplice dimostrare che f è suriettiva
Mi sono accorto adesso di aver scritto f (a)=0 quando intendevo g (a)=0, anche perché è semplice dimostrare che f è suriettiva
Re: 91. Strabella funzionale
Ok, infatti il problema è semplice una volta che $g$ si annulla da qualche parte.
Re: 91. Strabella funzionale
È passato un po' di tempo.
Ora UP. Poi, dimostrate che $g$ è suriettiva. Forza!
Ora UP. Poi, dimostrate che $g$ è suriettiva. Forza!
Re: 91. Strabella funzionale
Ci provo
$x=0 \rightarrow f(g(y))=-f(0) y + g(0)$
1) $f(0)=0 \Rightarrow f(g(y))= g(0) = cost =a $
$1_{a}$) $y=0 \rightarrow f(x+a)=a \Rightarrow f(x)= a \forall x$, ma $f(0)=0 \Rightarrow f(x)=0 \forall x \Rightarrow g(x)=0 \forall x$
Dunque trovo $f(x)=0$ e $g(x)=0$, che è soluzione
2) $f(0) \not = 0 \Rightarrow f(g(y))$ è biettiva
$
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
f(a+g(y)) \ è \ biettiva \Rightarrow \exists b \in R | f(a+g(b))=0 \\
f \ è \ suriettiva \Rightarrow \exists a \in R - \{0\} | f(a)=0 \\
\end{array}
\right.
$
$2_{a}$) $x=a \rightarrow f(a+g(y))= af(y) + g(a) \Leftrightarrow f(y)= \frac{ f(a+g(y)) - g(a)}{a} \Rightarrow f $ è biettiva perchè $f(a+g(y))$ è biettiva $\Rightarrow a $ è l'unico zero di $f$ $ \Rightarrow g(b)= 0 $
$2_{b}$) $x=y=b \rightarrow f(b)=0 \Rightarrow a=b$
e qui ho finito perchè trovo le soluzioni che ho scritto sopra
$x=0 \rightarrow f(g(y))=-f(0) y + g(0)$
1) $f(0)=0 \Rightarrow f(g(y))= g(0) = cost =a $
$1_{a}$) $y=0 \rightarrow f(x+a)=a \Rightarrow f(x)= a \forall x$, ma $f(0)=0 \Rightarrow f(x)=0 \forall x \Rightarrow g(x)=0 \forall x$
Dunque trovo $f(x)=0$ e $g(x)=0$, che è soluzione
2) $f(0) \not = 0 \Rightarrow f(g(y))$ è biettiva
$
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
f(a+g(y)) \ è \ biettiva \Rightarrow \exists b \in R | f(a+g(b))=0 \\
f \ è \ suriettiva \Rightarrow \exists a \in R - \{0\} | f(a)=0 \\
\end{array}
\right.
$
$2_{a}$) $x=a \rightarrow f(a+g(y))= af(y) + g(a) \Leftrightarrow f(y)= \frac{ f(a+g(y)) - g(a)}{a} \Rightarrow f $ è biettiva perchè $f(a+g(y))$ è biettiva $\Rightarrow a $ è l'unico zero di $f$ $ \Rightarrow g(b)= 0 $
$2_{b}$) $x=y=b \rightarrow f(b)=0 \Rightarrow a=b$
e qui ho finito perchè trovo le soluzioni che ho scritto sopra
Re: 91. Strabella funzionale
Nella 1.a non ottieni $f(x+a)=g(x)$?
Nella 2.a non ho capito perché $f(a+g(y)) è biettiva.
Nella 2.a non ho capito perché $f(a+g(y)) è biettiva.
Re: 91. Strabella funzionale
In effetti è $f(g(y+a))$ ad essere biettiva (che cantonata)
Comunque spero di non sbagliarmi sul punto 1
1) $f(0)=0 \Rightarrow f(g(y))= g(0) = cost =a $
$1_a$) $x=-a$ e $y=0 \rightarrow g(-a)=0$
$1_b$) $x=y=-a \rightarrow f(-a)=0$
$1_c$) $x=0$ e $y=-a \rightarrow a=0 \Rightarrow f(g(y))= f(0) = g(0) = 0 $
$1_d$) $y=0 \rightarrow f(x)= g(x) \Rightarrow f(x+f(y))= xf(y)+(1-y)f(x)$
$1_e$) $y=1 \rightarrow f(x+f(1))= xf(1)$
Se $f(1) \not = 0 \Rightarrow f$ è biettiva e $0=f(0)=f(-f(1)+f(1))=-(f(1))^2 \Rightarrow f$ è biettiva e $f(1)=f(0)=0 \rightarrow$ assurdo
$\Rightarrow f(1)=0 \Rightarrow f(x)=0 \forall x \Rightarrow g(x)=0 \forall x $
Effettivamente $f(x)=g(x)=0$ è soluzione
Comunque spero di non sbagliarmi sul punto 1
1) $f(0)=0 \Rightarrow f(g(y))= g(0) = cost =a $
$1_a$) $x=-a$ e $y=0 \rightarrow g(-a)=0$
$1_b$) $x=y=-a \rightarrow f(-a)=0$
$1_c$) $x=0$ e $y=-a \rightarrow a=0 \Rightarrow f(g(y))= f(0) = g(0) = 0 $
$1_d$) $y=0 \rightarrow f(x)= g(x) \Rightarrow f(x+f(y))= xf(y)+(1-y)f(x)$
$1_e$) $y=1 \rightarrow f(x+f(1))= xf(1)$
Se $f(1) \not = 0 \Rightarrow f$ è biettiva e $0=f(0)=f(-f(1)+f(1))=-(f(1))^2 \Rightarrow f$ è biettiva e $f(1)=f(0)=0 \rightarrow$ assurdo
$\Rightarrow f(1)=0 \Rightarrow f(x)=0 \forall x \Rightarrow g(x)=0 \forall x $
Effettivamente $f(x)=g(x)=0$ è soluzione
Re: 91. Strabella funzionale
Dopo il punto $1_a$ hai dimostrato che $g$ ha uno zero --> può bastare.
Ora il caso difficile: se $f(0) \neq 0$..
Ora il caso difficile: se $f(0) \neq 0$..