Sia $ \alpha $ un numero reale ed $ f $ la funzione così definita:
$ f(m, n) = \alpha f(m, n - 1) + (1 - \alpha)f(m - 1, n - 1) $ se $ m $ e $ n $ sono interi positivi
$ f(0, 0) = 1 $
$ f(m, 0) = f(0, m) = 0 $ per ogni $ m $ intero positivo
Trovare i valori di $ \alpha $ in corrispondenza dei quali si abbia $ |f(m, n)| \leq 1989 $ per ogni $ m $ ed $ n $.
Testo nascosto:
Mi chiedevo se fosse dato per scontato "per ogni $ m $ ed $ n $ interi positivi" o no
P.s. Mi chiedevo dove si possono trovare le soluzioni delle vecchie gare di Cesenatico
P.p.s. Come si fa la graffona del sistema con il LaTeX?
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
Ok spero di non sparare cose totalmente a caso ora:
La somma su ogni riga vale $ 1-\alpha $; perchè?
Se si ha una moneta truccata dove la probabilità di fare testa è $ 1-\alpha $ con $ 0\leq \alpha \leq1 $, la probabilità $ p(m-1,n-1) $ di fare $ m-1 $ volte testa su n-1$ $ lanci è:
$ \displaystyle p(m-1,n-1)=\binom{n-1}{m-1}(1-\alpha)^{m-1} \alpha^{n-m} $
da cui è immediato dalla formula che ho scritto sopra che:
$ \displaystyle f(m,n)=(1-\alpha)p(m-1,n-1) $
Ma la sommatoria al membro di destra è la somma di tutte le probabilità di ogni caso, quindi:
$ \displaystyle\sum_{m=1}^{n} p(m-1,n-1)=1 $
Da cui:
$ \displaystyle\sum_{m=1}^{n} f(m,n)=(1-\alpha) $
Ma se $ 0\leq \alpha \leq1 $ ciascun addendo della sommatoria del membro di sinistra è positivo o nullo, quindi nessun addendo sarà maggiore di $ 1-\alpha $.
Pertanto $ f(m,n)\leq 1-\alpha $ per ogni $ 0\leq \alpha \leq1 $ mentre per ogni $ \alpha $ fuori da questo intervallo è facile verificare con la formula esplicita sopra che esistono degli $ m $ e degli $ n $ tali che $ |f(m,n)|>1989 $.
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.