Cesenatico 6 - 1989

[simone256]

Sia $ \alpha $ un numero reale ed $ f $ la funzione così definita:

$ f(m, n) = \alpha f(m, n - 1) + (1 - \alpha)f(m - 1, n - 1) $ se $ m $ e $ n $ sono interi positivi
$ f(0, 0) = 1 $
$ f(m, 0) = f(0, m) = 0 $ per ogni $ m $ intero positivo

Trovare i valori di $ \alpha $ in corrispondenza dei quali si abbia $ |f(m, n)| \leq 1989 $ per ogni $ m $ ed $ n $.

Testo nascosto:

Mi chiedevo se fosse dato per scontato "per ogni $ m $ ed $ n $ interi positivi" o no
P.s. Mi chiedevo dove si possono trovare le soluzioni delle vecchie gare di Cesenatico
P.p.s. Come si fa la graffona del sistema con il LaTeX?

[iTz_CaBe_95]

\begin{equation}
\begin{cases}
mi piace \\ tanto \\ approssimare
\end{cases}
\end{equation}

Codice: Seleziona tutto

\begin{equation}
   \begin{cases}
   mi piace \\ tanto \\ approssimare
   \end{cases}
\end{equation}

[simone256]

Hahahaha grazie
P.s. Basta razzismi

[Nemo]

Un suggerimento un po'... artigianale (adatto anche ai fisici... )

Testo nascosto:

$\begin{matrix}
[n] \\ [4] & \vdots \\ [3] & 0 & h^2(1-h) & 2h(1-h)^2 & (1-h)^3\\ [2] & 0 & h(1-h)& (1-h)^2 & 0 \\ [1] & 0 & 1-h & 0 & 0 \\ [0] & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ & [0] & [1] & [2] & [3] & [4] & [m]
\end{matrix}$
Per induzione si ottiene qualcosa di interessante. Poi arrivare alla soluzione diventa molto semplice.

[simone256]

Io avevo già ottenuto una forma esplicita che metto nascosta che forse è cannata

Testo nascosto:

$ \displaystyle f(m, n)=\alpha^{n-m} \binom{n-1}{m-1}(1-\alpha)^m $
Ovviamente ricavata artigianalmente

Solo che da qui non riesco a porre le limitazioni su $ \alpha $

Testo nascosto:

Avevo pensato $ 0\leq \alpha \leq 1 $ ma non riesco a mettere in relazione la crescita del binomio con l'esponenziale

[Nemo]

Hai provato a calcolare la somma dei termini per ogni riga?? Ovvero quanto vale $$ \sum_{m=1}^{n} f(m,n)$$ per $f(m,n)>0$?

[simone256]

Ok spero di non sparare cose totalmente a caso ora:

La somma su ogni riga vale $ 1-\alpha $; perchè?

Se si ha una moneta truccata dove la probabilità di fare testa è $ 1-\alpha $ con $ 0\leq \alpha \leq1 $, la probabilità $ p(m-1,n-1) $ di fare $ m-1 $ volte testa su n-1$ $ lanci è:
$ \displaystyle p(m-1,n-1)=\binom{n-1}{m-1}(1-\alpha)^{m-1} \alpha^{n-m} $

da cui è immediato dalla formula che ho scritto sopra che:
$ \displaystyle f(m,n)=(1-\alpha)p(m-1,n-1) $

Quindi:
$ \displaystyle\sum_{m=1}^{n} f(m,n)=(1-\alpha)\sum_{m=1}^{n} p(m-1,n-1) $

Ma la sommatoria al membro di destra è la somma di tutte le probabilità di ogni caso, quindi:
$ \displaystyle\sum_{m=1}^{n} p(m-1,n-1)=1 $

Da cui:
$ \displaystyle\sum_{m=1}^{n} f(m,n)=(1-\alpha) $

Ma se $ 0\leq \alpha \leq1 $ ciascun addendo della sommatoria del membro di sinistra è positivo o nullo, quindi nessun addendo sarà maggiore di $ 1-\alpha $.

Pertanto $ f(m,n)\leq 1-\alpha $ per ogni $ 0\leq \alpha \leq1 $ mentre per ogni $ \alpha $ fuori da questo intervallo è facile verificare con la formula esplicita sopra che esistono degli $ m $ e degli $ n $ tali che $ |f(m,n)|>1989 $.

[Nemo]

Mi pare corretto

Ad ogni modo, per calcolare $\displaystyle \sum_{m=1}^{n} f(m,n)$, senza scomodare la moneta truccata, basta sapere che $\displaystyle \sum_{i=1}^{k} x_{i}=\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} x_{i+1}$ (mi pare ovvio) e $(a+b)^n= \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^{n-k}b^k$ (arcinoto). Infatti:
$\displaystyle \sum_{m=1}^{n} f(m,n)=\displaystyle \sum_{m=0}^{n-1} (1-\alpha)^{m+1} \alpha^{n-(m+1)} \binom{n-1}{m}=\displaystyle \sum_{m=0}^{n-1} (1-\alpha)^{m} \alpha^{(n-1)-m} \binom{n-1}{m} (1-\alpha)= (1- \alpha+ \alpha)^{n-1} (1- \alpha)=(1- \alpha)$

*Spero di non aver fatto errori...

[simone256]

ok si il principio di fondo credo sia lo stesso
Ti ringrazio
Non è che sai dove si possono trovare le soluzioni dei Cesenatico più vecchi?

[Nemo]

ok si il principio di fondo credo sia lo stesso

Lo credo anch'io

Ti ringrazio

Figurati. È un piacere

Non è che sai dove si possono trovare le soluzioni dei Cesenatico più vecchi?

Non so invero dove si possano trovare . Sinceramente non so neppure dove siano i testi...

[simone256]

se sei interessato puoi trovarli qui.

[matpro98]

Non ho aperto i file per controllare, ma non dice "testi e soluzioni"?

[simone256]

Così dice... Ma per qualche anno (mi pare fino al 1996) non ci sono le soluzioni!