Funzionale dal sapore positivo

[scambret]

Questa viene da un NST (next selection test) britannico, problema 2. La difficoltà è paragonabile a un IMO 2
A me è piaciuta un sacco e poi, secondo me, è molto istruttiva.
Trovare tutte le $f$ da reali positivi a reali positivi tale che per ogni x e y maggiori di 0 si ha

$$x^2 \left ( f(x)+f(y) \right ) =(x+y) f \left ( f(x) y \right) $$

[Gi8]

C'è una sola soluzione: $f(x) = \frac{1}{x}$

Testo nascosto:

$x=y \implies 2x^2 f(x)= 2x f(xf(x)) \implies x f(x)= f(x f(x))$.
Posto $A := \{ x f(x) | x >0\} \subseteq \mathbb{R}^+$, per ogni $ z \in A$ si ha $f(z)=z$.
Ovviamente $A$ è non vuoto (c'è almeno $f(1)$)

Se $A$ ha solo un elemento, allora esiste $c>0$ tale che per ogni $x>0$ si ha $f(x)=\frac{c}{x}$
Sostituendo abbiamo $cx^2 \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)= (x+y) \frac{x}{y} \implies \frac{cx^2}{xy}= \frac{x}{y}$, da cui $c=1$


Se $A$ possiede almeno due elementi distinti $a$ e $b$,
allora $a^2 (a +b)= (a+b)f(ab)$ da cui $f(ab)=a^2$ e anche $b^2 (b+a) = (b+a)f(ba)$ da cui $f(ab)=b^2$.
Ciò significa che $a^2 = b^2 \implies a=b$, assurdo.

[karlosson_sul_tetto]

Se $A$ ha solo un elemento, allora esiste $c>0$ tale che per ogni $x>0$ si ha $f(x)=\frac{c}{x}$

Non mi è chiaro questo passaggio... potresti spiegarlo?

[Gi8]

Se $A$ ha un solo elemento, allora esiste $c>0$ tale che $A=\{ c\}$.
Ciò significa, per definizione di $A$, che per ogni $x >0$ si ha $x \cdot f(x)=c$, da cui $f(x)= \frac{c}{x}$

[karlosson_sul_tetto]

Se $A$ ha un solo elemento, allora esiste $c>0$ tale che $A=\{ c\}$.
Ciò significa, per definizione di $A$, che per ogni $x >0$ si ha $x \cdot f(x)=c$, da cui $f(x)= \frac{c}{x}$

Ok, capito, grazie mille

[darkcrystal]

Mi sembra si possa fare in maniera molto semplice:

Testo nascosto:

da $x=y=1$ si ottiene $f(f(1))=f(1)$, poi da $x=f(1), y=1$ si ha $2f(1)^3=\left(f(1)+1\right)f(1)$ che ha le tre soluzioni $f(1)=0, 1, -1/2$. Visto che $f(1)>0$ dev'essere $f(1)=1$, da cui ($x=1$ nel testo) $f(y)=1/y$.

Il che mi fa sorgere una domanda: qual era la tua soluzione, scambret? Perché questo sembra nettamente più semplice di un IMO2 ^^

[scambret]

No boh, sono i britannici che danno codeste informazioni non darò indicazioni sulla difficoltà dei testi, lo prometto
Comunque

- con $y=1$ si ottiene $\displaystyle \frac{x+1}{x^2}=\frac{f(x)+f(1)}{f(f(x))}$ da cui $f$ è iniettiva.
- con $x=y=1$ si ottiene con l'iniettività $f(1)=1$
- con $x=1$ si ottiene $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$