Ooh che monotonia queste funzioni

[Gottinger95]

Sia \(f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione continua.
1. Dimostrare che esistono infinite funzioni continue \(f^+, f^-\) rispettivamente crescenti, decrescenti tali che
\(f(x) = f^+(x) + f^-(x)\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
2. Sia \(\Delta x\) tale che \(x - \Delta x \le x \le x + \Delta x\). Se esistono, trovare in funzione di \(f\) le \(f^+, f^-\) che rispettano la 1 e minimizzano, se un minimo esiste:
\[ E^+(x) = f^+(x+\Delta x) + f^-(x-\Delta x) -f(x) \] \[ E^-(x) = f^+(x-\Delta x) +f^-(x+ \Delta x) - f(x) \]
3. E se sostituiamo \(\mathbb{R}\) con \(\mathbb{N}\)? Ovviamente le funzioni non sono più continue, perchè ecco, non ha senso.

A dirla tutta non ho riflettuto nè sul punto 2 nè sul punto 3 per mancanza di tempo, però mi piacerebbe saperlo.
A che serve tutta questa tiritera? Perchè se abbiamo una funzione non monotona allora possiamo cavarcela alla meglio con le funzioni trovate al punto 2, per massimizzare o minimizzare la funzione.

[machete]

Forse sono io che sragiono, ma non trovo l' errore nel seguente ragionamento. Ditemi voi!

Per $b>a$ reali definisco $\Delta f[a,b]:=f(b)-f(a)$. Osserviamo che, se vale la tesi, si ha:
$$
\Delta f[a,b]=\Delta f^{+}[a,b]+\Delta f^{-}[a,b]\leq \Delta f^{+}[a,b]
$$
usando la decrescenza di $f^{-}$. Inoltre osserviamo che, per definizione, dati $a<b<c$ si ha:
$$
\Delta f[a,b]+\Delta f[b,c]=\Delta f[a,c]
$$
inoltre per una funzione crescente $f^+$ vale $\Delta f^{+}[a,b]\geq 0$.


Considero ora la funzione $f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}$ così definita:
$$
f(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
x\, \sin{\left(\frac{\pi}{x}+\frac{\pi}{2}\right)} & \mbox{se } x\neq 0\\
\\
0 & \mbox{se } x=0
\end{array}
\right.
$$
Si vede facilmente che $f$ è continua. Supponiamo che esista $f^{+}$ continua che rispetta le ipotesi e calcoliamo per ogni intero positivo $k$:
$$
\Delta f\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right] = \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k} \leq \Delta f^{+}\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right]\qquad (\star)
$$
Consideriamo ora, per ogni intero positivo $2n$:
$$
S_n:=f^+(1)-f^+\left(\frac{1}{2n}\right)=\sum^{2n-1}_{k=1} \Delta f^+\left[\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]=\sum^{n}_{k=1} \Delta f^+\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right] +\sum^{n}_{k=1} \Delta f^+\left[\frac{1}{2k},\frac{1}{2k-1}\right] \qquad (\star \star)
$$
ora la seconda sommatoria, poichè $f^+$ è crescente, è maggiore o uguale a zero, la prima invece si minora con $(\star)$, ottenendo:
$$
S_n\geq \sum^{n}_{k=1} {\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k}}=\sum^{n}_{k=2} \frac{1}{k}
$$
ma passando al limite per $n\rightarrow +\infty$ in questa relazione si ha che, da una parte, per continuità di $f^+$, $S_n \rightarrow f(1)-f(0)\in\mathbf{R}$, ma dall' altra il membro destro, essendo la serie armonica, diverge a $+\infty$. Assurdo.

Inoltre mi sembra non funzioni anche se $f^+$ non è continua. Infatti comunque, per crescenza, $S_n \leq f(1)-f(0)$.

[darkcrystal]

Concordo con machete: le funzioni che si scrivono in quel modo sono esattamente le cosiddette funzioni BV (http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation), e non è vero che ogni funzione continua è BV; in effetti, l'esempio qui sopra è più o meno il controesempio standard.

[Gottinger95]

Mmm. Mmm. Non capisco perchè
\[\Delta f\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right] = \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k} \]
Non mi pare che corrisponda alle definizioni di \(f, \Delta f\). Comunque sono certo che sono ottuso, e la cosa che hai scritto sarà fuor di dubbio ragionevole.
Ma allora non mi quadra questa scelta, per la funzione \(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\) (zero escluso) che hai scritto te (ho limitato il dominio per comodità, ma non è sostanziale), ossia \( f(x) = x \sin \left ( \frac{\pi}{x} + \frac{\pi}{2} \right ) \). Scegliamo
\[ f^+(x) = x \sin \left ( \frac{\pi}{x} + \frac{\pi}{2} \right ) + \pi \log x + x = f(x) + h(x) \]
\[ f^{-}(x) = -(\pi \log x + x) = - h(x) \]
Naturalmente \( f^+(x) + f^{-}(x) = f(x) + h(x) -h(x) = f(x) \). Inoltre
\[ \frac{d f^-(x)}{dx} = - \frac{\pi}{x} -1 < 0 \]
\[ \frac{ d f^+(x)}{dx} = 1 + \frac{\pi}{x} \sin \left (\frac{\pi}{x} \right ) + \cos \left ( \frac{\pi}{x} \right ) + \frac{\pi}{x} \]
Visto che \(\forall x \in \mathbb{R} \) vale \(\sin(x), \cos (x) \ge -1\), abbiamo
\[ \frac{ d f^+(x)}{dx} \ge 1 - \frac{\pi}{x} -1 + \frac{\pi}{x} = 0\]
Perciò \(f^+, f^-\) sono rispettivamente crescenti, descrescenti. Cos'è che ho cannato?
P.S. In generale scelgo \(f^+(x) = f(x) + h(x), f^-(x) = -h(x) \) in modo che \( h'(x) \ge \max \{0,-f'(x) \} \). In questo modo \(-h(x)\) è decrescente (perchè \(h'(x) \ge 0\) ), e \( f(x)+h(x) \) è crescente (perchè \( h'(x) \ge -f'(x) \) ).

[darkcrystal]

Uhm, le tue derivate non mi convincono molto... il punto è proprio che il massimo tra 0 e h' potrebbe non essere integrabile (nel senso che potrebbe avere integrale infinito, che dovrebbe essere esattamente quello che succede qui)

[Gottinger95]

E' vero, quanta saggezza, sono stato un po' frettoloso! Modulo conti, ho capito il concetto.
Però che bello, sono ben più contento di questa risposta che di quella che mi aspettavo. Grazie a entrambi!
Per curiosità: è vero anche il contrario? Cioè se invece \(f'(x) \) è limitata allora \(f(x)\) è BV (se ho capito bene si dice così)?

[darkcrystal]

Prima una piccola precisazione sul mio post precedente: ovviamente non è vero che ogni funzione continua sia derivabile, quindi in ogni caso la tua costruzione prendendo $f'(x)$ non aveva troppo senso per funzioni continue qualunque... ma in un certo senso non è questo il punto filosoficamente importante.

Venendo alla tua domanda: sì! Se hai una funzione continua che è derivabile ovunque e la derivata è limitata (su ogni intervallo limitato), allora la funzione è a variazione limitata - o BV, se preferisci. Questa è una conseguenza immediata del teorema di Lagrange: nella definizione di variazione limitata, che puoi per esempio prendere dall'articolo della wiki, basta stimare $|f(x_{i+1})-f(x_i)|$ con $M|x_{i+1}-x_i|$, dove $M$ è il sup del modulo della derivata.