Polinomi e binomiali

[Gottinger95]

Dimostrare che per ogni polinomio \(p(x)\) di grado \(m\) esistono \(c_1, \ldots, c_m\) (unici) tali che
\[ \sum_{k=0}^N p(k) = \sum_{j=0}^m c_j \binom{N+1}{j+1} \]
per ogni \(N \in \mathbb{N}\). Mostrare inoltre un metodo per trovare i \(c_i\).

Nota. Perchè questo fatto utile? Perchè il numero di termini in \(RHS\) è indipendente da \(N\), dunque una volta trovati i \(c_i\) possiamo calcolare una sommatoria anche molto lunga con un numero costante di termini. Qualcosa di vagamente simile a una formula chiusa, se vogliamo.

EDIT: grazie a machete ho corretto un +1 che mi era scappato!

[Loara]

Supponiamo che $ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_mx^m $. Quindi $ \sum^N_{x=0}p(x)=(N+1)a_0+(1+2+3+\cdots +N)a_1+(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2)a_2+\cdots +(1^m+2^m+3^m+\cdots +N^m)a_m $. Ora utilizzando la formula di Stirling:
$ 1^k+2^k+\cdots+N^k=\sum^k_{i=1}S(k, i)\binom{N+1}{i+1}i! $ Con $ S(k+1, i)=S(k, i-1)+iS(k, i) $, $ S(n, 1)=S(n, n)=1 $ i numeri di Stirling di seconda specie.
Quindi $ c_i=i!\sum^{m}_{h=i}a_hS(h, i) $ per $ 0<i<m+1 $ e $ c_0=a_0 $.

[Tess]

Ora utilizzando la formula di Stirling

Alla faccia della cannonata! Ormai che ci sei potresti anche dimostrarla!

[Loara]

Ok, dimostriamo che:
$ 1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k=\sum^k_{i=1}S(k, i)\binom{n+1}{i+1}i! $. Ricordiamo che il numero di Stirling $ S(k, i) $ è uguale al numero di partizioni di $ k $ elementi differenti in $ i $ parti.
Per la nostra dimostrazione risolviamo il seguente problema:
$ {\it \mbox{Calcolare tutti i } (x_1, x_2, \cdots, x_{k+1})\mbox{ di numeri interi appartenenti all'insieme }\{1, 2, 3, \cdots , n+1\}\mbox{ tali che } x_{k+1}>max\{x_1, x_2, \cdots , x_k\}} $.
Tale problema si risolve in due modi:
1) Se poniamo $ x_{k+1}=i+1 $ (con $ 0<i<n+1 $) allora possiamo scegliere i restanti numeri in $ i^k $ modi. Quindi la soluzione è:
$ 1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k $
2)Per semplicità analizziamo il caso $ k=2 $. Le terne $ (x_1, x_2, x_3) $ soddisfano una ed una sola delle sequenti disuguaglianze:
$ x_1=x_2<x_3 $
$ x_1<x_2<x_3 $
$ x_2<x_1<x_3 $
Quindi per $ k=2 $ la soluzione è:
$ \binom{n+1}{2}+\binom{n+1}{3}+\binom{n+1}{3}=\binom{n+1}{2}+2\binom{n+1}{3} $
Per $ k=3 $ la soluzione si può trovare allo stesso modo, trovando prima tutte le possibili disequazioni che regolano le variabili $ x_1, x_2, x_3, x_4 $. Possiamo però trovare una biiezione tra tali disequazioni e le partizioni di un intero: nel nostro caso la disequazione $ x_1=x_2=x_3<x_4 $ corrisponde alla partizione $ 3 $, la partizione $ 2+1 $ corrispondono le disequazioni $ x_1=x_2<x_3<x_4 $, $ x_1=x_3<x_2<x_4 $, $ x_2=x_3<x_1<x_4 $, $ x_1<x_2=x_3<x_4 $, $ x_1<x_3=x_2<x_4 $, $ x_2<x_3=x_1<x_4 $, mentre alla partizione $ 1+1+1 $ corrispondono $ 6 $ disequazioni diverse ($ 3! $), Quindi La soluzione per $ k=3 $ è:
$ \binom{n+1}{2}S(3, 1)1!+\binom{n+1}{3}S(3, 2)2!+\binom{n+1}{4}S(3, 3)3! $
e applicando tale ragionamento anche a $ k $ generico.

Confrontando le due soluzioni otteniamo la tesi:
$ 1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k=\sum^k_{i=1}S(k, i)\binom{n+1}{i+1}i! $

[Loara]

A proposito, come si fà il simbolo di sommatoria grande?

[Tess]

Bene, ben fatto Loara!

A proposito, come si fà il simbolo di sommatoria grande?

Per queste domande c'è un'apposita sezione sul forum.
Comunque, che sappia io, si fa solo in display mode, cioè

Codice: Seleziona tutto

$$ \sum $$

che rende $$ \sum$$

[Gottinger95]

OT: si, io lo faccio anche con \ [ .. \ ], che è uguale. Si può in ogni caso fare anche inline dentro a \ ( ... \ ), inserendo il comando \displaystyle.
Per esempio

Codice: Seleziona tutto

E poi con la sommatoria \[ \frac{c}{d} \sum_a^b\] si trovano i fiumi di [...]
--
E poi con la sommatoria \( \frac{c}{d} \displaystyle \sum_a^b\) oppure \(\displaystyle \frac{c}{d}  \sum_a^b\) si trovano i fiumi di [...]

dà
E poi con la sommatoria \[ \frac{c}{d} \sum_a^b\] si trovano i fiumi di [...]
--
E poi con la sommatoria \( \frac{c}{d} \displaystyle \sum_a^b\) oppure \(\displaystyle \frac{c}{d} \sum_a^b\) si trovano i fiumi di [...]

Lo svantaggio di \displaystyle è che si mangia le interlinee un po' come gli pare!