Il professore Eulero de Fermat ha fatto una grande scoperta nel mondo della matematica: ha infatti scoperto che, per ogni intero positivo $ k $ la seguente equazione nella variabile $ x $:
$ x^2+(x+1)^2+(x+2)^2+\cdots (x+k)^2=(x+k+1)^2+(x+k+2)^2+\cdots +(x+2k)^2 $
ha una soluzione intera e positiva. Però il professore ha perso i suoi appunti sui quali ha scritto la dimostrazione. Aiutate il professore, dimostrando tale proprietà.
Inoltre dimostrare se esiste un intero $ i $ tale che per ogni numero intero positivo $ k\geq 1-i $ la sequente equazione in $ x $:
$ x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+\cdots (x+k)^3=(x+k+1)^3+(x+k+2)^3+\cdots +(x+2k+i)^3 $
ha almeno una soluzione intera positiva.
Somme strane
Somme strane
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\
=221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\
210=2*3*5*7 $
Re: Somme strane
Non è più adatto a teoria dei numeri?
edit: pensavo ad un altro problema...
edit: pensavo ad un altro problema...
Ultima modifica di Tess il 15 ago 2014, 22:58, modificato 1 volta in totale.
Re: Somme strane
(1) Intanto faccio la prima:
$$\sum_{i=1}^{k+1} (x-1+i)^2=\sum_{i=1}^k (x+k+i)^2\Rightarrow \ \sum_{i=1}^k [(x+k+i)^2-(x-1+i)^2]=(x+k)^2$$
Fattorizzando la differenza di quadrati presente al LHS
$$ \sum_{i=1}^k [(k+1)(2x+k+2i-1)]=(x+k)^2$$
Armeggiando ancora un po' con la sommatoria si arriva a
$$(k+1)\left[2kx+k^2-k+\sum_{i=1}^{k} 2i\right]=(x+k)^2\ \Rightarrow \ (k+1)[2kx+k^2-k+k(k+1)]=(x+k)^2$$
L'espressione tra parentesi quadre si può però ancora fattorizzare, così arriviamo a
$$2k(k+1)(k+x)=(x+k)^2\ \Rightarrow 2k(k+1)=k+x\Rightarrow x=2k^2+k$$
E la soluzione intera e positiva l'abbiamo trovata.
$$\sum_{i=1}^{k+1} (x-1+i)^2=\sum_{i=1}^k (x+k+i)^2\Rightarrow \ \sum_{i=1}^k [(x+k+i)^2-(x-1+i)^2]=(x+k)^2$$
Fattorizzando la differenza di quadrati presente al LHS
$$ \sum_{i=1}^k [(k+1)(2x+k+2i-1)]=(x+k)^2$$
Armeggiando ancora un po' con la sommatoria si arriva a
$$(k+1)\left[2kx+k^2-k+\sum_{i=1}^{k} 2i\right]=(x+k)^2\ \Rightarrow \ (k+1)[2kx+k^2-k+k(k+1)]=(x+k)^2$$
L'espressione tra parentesi quadre si può però ancora fattorizzare, così arriviamo a
$$2k(k+1)(k+x)=(x+k)^2\ \Rightarrow 2k(k+1)=k+x\Rightarrow x=2k^2+k$$
E la soluzione intera e positiva l'abbiamo trovata.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Re: Somme strane
Esiste una soluzione più semplice del primo punto:
Testo nascosto:
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\
=221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\
210=2*3*5*7 $
Re: Somme strane
Comunque attendo la soluzione del secondo punto
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\
=221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\
210=2*3*5*7 $