Funzionale giocosa. . .

[machete]

Trovare tutte le $f:\mathbf{N}\longrightarrow \mathbf{N}$ tali che per ogni naturale $n$ valga:
$$
f(f(f(n)))+6f(n)=3f(f(n))+4n+2001
$$
Enjoy!

[scambret]

Chissà se coloro che hanno visto la lezione A3 medium dell'ultimo senior la sanno fare in 2 minuti e mezzo

[karlosson_sul_tetto]

OT: sto iniziando a pensare che l'applauso abbia solo peggiorato la vanità dell'autore...

@machete: per curiosità, da dove è presa?

[matpro98]

Anch'io penso che quell'applauso non sia stato una buona idea... XD

[lucaboss98]

Fissato $x_0$ definisco la successione $x_{m+1} = f(x_m) $ .
Si ha quindi , sostituendo $x_0, x_1 , \ldots $ al posto di $n$ (si può fare perchè $x_m \in \mathbb{N} \forall m \in \mathbb{N} $ )
\begin{equation}
x_{m+3} = 3x_{m+2} - 6x_{m+1} + 4x_m + 2001
\end{equation}
Sia $ x_m = a_m + b_m $ dove $ b_{m+1} = b_m + 667 $ e $ b_0 = 0 $ (allora $b_m \in \mathbb{Z} $ e quindi $ a_m \in \mathbb{Z} $ ) . Si ha
\begin{equation}
a_{m+3} + b_m + 3 \cdot 667 = 3a_{m+2} + 3b_m + 6 \cdot 667 - 6a_{m+1} - 6b_m - 6 \cdot 667 + 4a_m + 4b_m + 3 \cdot 667
\end{equation}
Semplificando si ottiene
\begin{equation}
a_{m+3} = 3a_{m+2} - 6a_{m+1} + 4a_m
\end{equation}
A questo punto, l'equazione associata alla successione è $x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = 0 $ , ovvero $ (x-1)(x-(1+i \sqrt{3}))(x-(1-i \sqrt{3})) = 0 $ , allora $ \forall m $ si ha
\begin{equation}
a_m = \alpha + \beta \cdot (1+i \sqrt{3})^m + \gamma \cdot (1- i \sqrt{3})^m
\end{equation}
Segue che $ a_0 = \alpha + \beta + \gamma \in \mathbb{Z} $ .
Inoltre $ a_1 = \alpha + \beta + \gamma + i \sqrt{3} \cdot ( \beta - \gamma) \in \mathbb{Z} $ , allora $ i \sqrt{3} \cdot ( \beta - \gamma) \in \mathbb{Z} $ , da cui $ \beta = \gamma $.
Quindi $ a_0 = \alpha + 2 \beta $ e $ a_1 = \alpha + 2 \beta $ da cui $ a_0 = a_1 $ . Allora
\begin{equation}
f(x_0) = x_1 = a_1 + b_1 = a_0 + b_0 + 667 = x_0 + 667
\end{equation}
Ripetendo ciò per ogni valore possibile si ottiene che
\begin{equation}
f(n) = n + 667 \forall n \in \mathbb{N}
\end{equation}
Andando a sostituire si ha che verifica.

[scambret]

No, non era per vanità, solo per mostrare che le tecniche apprese si possono rivelare alquanto utili: unica variabile, successione con mostro, ...

[machete]

@lucaboss: Mi sembra corretta, bene!

Speravo resistesse di più / fosse una tecnica poco nota, ma evidentemente ho scelto la tempistica sbagliata! Mi sembrava interessante perchè è una tecnica quite generale!

@karlosson: l' ho presa dal libro "Putnam & beyond" di Titu Andreescu, a sua volta creso la prendesse da una qualche gara.

Domanda per chi la sa (io non la so): Fa parte delle cose note poter dire che i coefficienti $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ siano reali e non in generale complessi?

[Tess]

Fa parte delle cose note poter dire che i coefficienti α, β e γ siano reali e non in generale complessi?

Io direi di no: prendi la ricorsione $a_{n+2}=2a_{n+1}-2a_n$ con termini iniziali $0$ e $-2$. Se non mi sono dimenticato come si fanno i conti, dovresti ottenere dei coefficienti complessi. Il fatto è che quei coefficienti dipendono in modo lineare dai termini iniziali, sembrerebbe forse un po' strano che per ogni scelta di questi i coefficienti risultassero reali... soprattutto se le radici del polinomio caratteristico della successione sono non reali.

[lucaboss98]

Bisogna dimostrare che $ \beta = \gamma $ , allora..

[scambret]

@machete: no, non hai sbagliato tempistica e quando c'è una variabile con $f(f(n))$, $f(n)$ e $n$ la tecnica di lucaboss distrugge una grande parte di funzionali (provare BMO 2007/4 e IMO SL 1992 A2).

Si effettivamente $\alpha, \beta, \gamma$ sono in generale complessi, ma uno si salva dato che $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ e quindi $a_n \geq 0$, ma allora...

[machete]

Io l' ho risolto nel caso fossero complessi, ma dato che anche nella soluzione ufficiale non se ne preoccupava (a quanto ricordo(e potrei ricordare male)), pensavo di aver fatto fatica inutile! il problema rimane in attesa dunque, anche se non è difficile concludere!