Divido in due casi:
1) Se $ abc < 1 $ ( e quindi $ \dfrac{1}{abc} > 1 $ )
Applicando Cauchy-Schwarz (Lemma di Titu) alle terne $ (a,b,c) $ e $( \dfrac{1}{a} , \dfrac{1}{b} , \dfrac{1}{c} ) $ e utilizzando che $ \dfrac{1}{abc} > 1$ si ha
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{ ( \sum\limits_{cyc} 1 )^2 }{ \sum\limits_{cyc} a} = \dfrac{9}{ (k+3)abc - k } > \dfrac{9}{3} = 3
\end{equation}
2) Se $ abc \geq 1 $ ( e quindi $ a+b+c \geq 3 $ )
La tesi equivale a $ ab + bc + ac \stackrel{?}{\geq} 3abc $ che a sua volta equivale a
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} a^2b^2 + 2abc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9a^2b^2c^2
\end{equation}
moltiplicando LHS per $(k+3) $ e LHS per $ \dfrac{a+b+c+k}{abc} $ , tanto sono uguali, si ha che la tesi, ancora equivale a
\begin{equation}
(k+3)( \sum\limits_{cyc} a^2b^2 ) + 2kabc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 3( \sum\limits_{cyc} a^2bc ) + 9kabc
\end{equation}
Ora, per bunching, si ha che $ 3 \sum\limits_{cyc} a^2b^2 \geq 3 \sum\limits_{cyc} a^2bc $ , quindi basta dimostrare che
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} a^2b^2 + 2abc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9abc
\end{equation}
Quindi, ancora, basta $ 3abc ( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9abc $ ovvero $ a+b+c \geq 3 $ , che è vera in quanto si è supposto $abc \geq 1$.
Spero di non aver commesso errori