92. Disuguaglianza leggermente carina

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karlosson_sul_tetto
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92. Disuguaglianza leggermente carina

Messaggio da karlosson_sul_tetto »

Siano dati tre reali positivi $ a,b,c $ che soddisfano la condizione: $ a+b+c+1=4abc $. Dimostrare:
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3 $

Non dovrebbe essere troppo difficile (per bilanciare il livello dei problemi che purtroppo girano sul forum da un pò (e soprattutto nelle staffette)), quindi chiedesi ai più pro di non bruciarlo subito.

Generalizzazione come hint/bonus:
Testo nascosto:
$ a,b,c>0, k\geq 0 $ con la condizione $ a+b+c+k=(k+3)abc $. Dimostrare:
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3 $
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LucaMac
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Re: 92. Disuguaglianza leggermente carina

Messaggio da LucaMac »

Divido in due casi:
1) Se $ abc < 1 $ ( e quindi $ \dfrac{1}{abc} > 1 $ )
Applicando Cauchy-Schwarz (Lemma di Titu) alle terne $ (a,b,c) $ e $( \dfrac{1}{a} , \dfrac{1}{b} , \dfrac{1}{c} ) $ e utilizzando che $ \dfrac{1}{abc} > 1$ si ha
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{ ( \sum\limits_{cyc} 1 )^2 }{ \sum\limits_{cyc} a} = \dfrac{9}{ (k+3)abc - k } > \dfrac{9}{3} = 3
\end{equation}
2) Se $ abc \geq 1 $ ( e quindi $ a+b+c \geq 3 $ )
La tesi equivale a $ ab + bc + ac \stackrel{?}{\geq} 3abc $ che a sua volta equivale a
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} a^2b^2 + 2abc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9a^2b^2c^2
\end{equation}
moltiplicando LHS per $(k+3) $ e LHS per $ \dfrac{a+b+c+k}{abc} $ , tanto sono uguali, si ha che la tesi, ancora equivale a
\begin{equation}
(k+3)( \sum\limits_{cyc} a^2b^2 ) + 2kabc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 3( \sum\limits_{cyc} a^2bc ) + 9kabc
\end{equation}
Ora, per bunching, si ha che $ 3 \sum\limits_{cyc} a^2b^2 \geq 3 \sum\limits_{cyc} a^2bc $ , quindi basta dimostrare che
\begin{equation}
\sum\limits_{cyc} a^2b^2 + 2abc( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9abc
\end{equation}
Quindi, ancora, basta $ 3abc ( \sum\limits_{cyc} a) \stackrel{?}{\geq} 9abc $ ovvero $ a+b+c \geq 3 $ , che è vera in quanto si è supposto $abc \geq 1$.
Spero di non aver commesso errori :D
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karlosson_sul_tetto
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Re: 92. Disuguaglianza leggermente carina

Messaggio da karlosson_sul_tetto »

karlosson_sul_tetto ha scritto:[...] quindi chiedesi ai più pro di non bruciarlo subito.
Come non detto.

Il caso 1 è abbastanza inutile: infatti per medie pesate $ \frac{1}{k+3}a+\frac{1}{k+3}b+\frac{1}{k+3}c+\frac{k}{k+3}\cdot 1\geq \sqrt[k+3]{abc\cdot1^k} $, da qua usando l'ipotesi $ a+b+c+k=(k+3)abc $, ottengo $abc\geq 1$

A parte un typo su LHS/RHS, va bene, vai pure con il prossimo :D
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Re: 92. Disuguaglianza leggermente carina

Messaggio da LucaMac »

Ma io mica sono un pro..
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