Polinomi Olimpiadi a squadre
Polinomi Olimpiadi a squadre
SALVE mi sono iscritto tempo fa ma questo è solo il mio secondo post quindi scusatemi se pubblico così all'improvviso 3 problemi in un post solo....Comunque anche se voi sapete farne uno solo dei tre scrivetemelo per favore perchè io con i polinomi non ci so fare proprio. Grazie in anticipo e scusate ancora.
1 Il polinomio p(x) ha grado maggiore o uguale a 2 ed i suoi coefficienti sono tutti numeri interi . Quale dei seguenti numeri divide certamente p(169) - p(1) ? ? 25-32-36-49-5
2 Delle sirene elencano nel loro dolce canto tutti i polinomi p(x) non nulli a coefficienti interi di grado minore o uguale a 2014 e tali che p(x)^2 - 2 = p(x^2 -2) . Quanti polinomi vengono elencati ?
3 Ellisseo deve calcolare (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b) dove a b c d sono le radici del polinomio x^4 - 2x^3 - 61x^2 + 62x +840
Che numero calcola ?
1 Il polinomio p(x) ha grado maggiore o uguale a 2 ed i suoi coefficienti sono tutti numeri interi . Quale dei seguenti numeri divide certamente p(169) - p(1) ? ? 25-32-36-49-5
2 Delle sirene elencano nel loro dolce canto tutti i polinomi p(x) non nulli a coefficienti interi di grado minore o uguale a 2014 e tali che p(x)^2 - 2 = p(x^2 -2) . Quanti polinomi vengono elencati ?
3 Ellisseo deve calcolare (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b) dove a b c d sono le radici del polinomio x^4 - 2x^3 - 61x^2 + 62x +840
Che numero calcola ?
Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Ciao! Ti rispondo al 3 perché anche io con i polinomi non sono così bravo , spero che sia giusto:
Chiamiamo
$ S=a+b+c+d $
$ P=abcd $
$ Q=ab+ac+ad+bc+cd+bd $
$ R=abc+bcd+cda+dab $
Intanto $ (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(a+d+b) $ diventa $ (S-a)(S-b)(S-c)(S-d) $ , aprendo i conti abbiamo :
$ abcd-abcS-abdS+abS^2-acdS+acS^2+adS^2-aS^3-bcdS+bcS^2+bdS^2-bS^3+cdS^2-cS^3-dS^3+S^4 $ $=$
$=$ $ S^4-S^3(a+b+c+d)+S^2(ab+ac+ad+bc+cd+bd)-S(abc+bcd+cda+dab)+abcd $ $=$
$=$ $ S^4-S^4+S^2Q-SR+P $ $=$
$=$ $ S^2Q-SR+P $
Dalle relazioni tra le radici si sa che i coefficienti del polinomio sono:
$ x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+cd+bd)x^2-(abc+bcd+cda+dab)x+abcd $ quindi abbiamo:
$ S=2 $
$ Q=-61 $
$ R=-62 $
$ P=840 $
Quindi $ S^2Q-SR+P=2^2(-61)-2(-62)+840=720 $
Spero di non essermi sbagliato
Chiamiamo
$ S=a+b+c+d $
$ P=abcd $
$ Q=ab+ac+ad+bc+cd+bd $
$ R=abc+bcd+cda+dab $
Intanto $ (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(a+d+b) $ diventa $ (S-a)(S-b)(S-c)(S-d) $ , aprendo i conti abbiamo :
$ abcd-abcS-abdS+abS^2-acdS+acS^2+adS^2-aS^3-bcdS+bcS^2+bdS^2-bS^3+cdS^2-cS^3-dS^3+S^4 $ $=$
$=$ $ S^4-S^3(a+b+c+d)+S^2(ab+ac+ad+bc+cd+bd)-S(abc+bcd+cda+dab)+abcd $ $=$
$=$ $ S^4-S^4+S^2Q-SR+P $ $=$
$=$ $ S^2Q-SR+P $
Dalle relazioni tra le radici si sa che i coefficienti del polinomio sono:
$ x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+cd+bd)x^2-(abc+bcd+cda+dab)x+abcd $ quindi abbiamo:
$ S=2 $
$ Q=-61 $
$ R=-62 $
$ P=840 $
Quindi $ S^2Q-SR+P=2^2(-61)-2(-62)+840=720 $
Spero di non essermi sbagliato
Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Senza fare troppi conti, basta che ti accorgi che ti sta chiedendo $ p (S) $
P.S: il 2 è abbastana arduo/tecnico, ed è stato postato non troppo tempo fa...
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Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Il 2 è abbastanza arduo, è vero, ma "indovinare" la risposta (capire quale dovrebbe essere il numero giusto, senza una dimostrazione) non è ignobilmente difficile dopo averci lavorato su un po'.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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- karlosson_sul_tetto
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- Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
- Località: Napoli
Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Dato che il primo è stato snobbato:
Per la divisione euclidea tra polinomi e ruffini, $ p(x)=(x-a)q(x)+p(a) $. Ponendo x=b ottengo:
$ (b-a)|(p(b)-p(a) $ (questo vale ovviamente per polinomi a coefficienti interi)
Hai quindi che $168|p(169)-p(1)$, e tra le risposte date non è difficile trovare quella giusta
Per la divisione euclidea tra polinomi e ruffini, $ p(x)=(x-a)q(x)+p(a) $. Ponendo x=b ottengo:
$ (b-a)|(p(b)-p(a) $ (questo vale ovviamente per polinomi a coefficienti interi)
Hai quindi che $168|p(169)-p(1)$, e tra le risposte date non è difficile trovare quella giusta
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
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Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Vi prego non date niente per scontato, non ho mai fatto esercizi sui polinomi alle olimpiadi e vorrei capire bene
Grazie
Grazie
Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Ti consiglio di vedere un A1 del basic, così prendi confidenza con alcuni fatti base sui polinomi...
In particolare se sai che $ p $ è di quarto grado e ha come radici $ a, b, c, d $ allora puoi scrivere $ p (x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) $
Ora, per il 3, se chiami $ S=a+b+c+d $, vedi che ti sta chiedendo proprio $(S-a)(S-b)(S-c)(S-d) $, che in virtù di quello che abbiam detto prima è esattamente $ p (S) $
Infine, se provi ad espandere i conti, vedi che la somma delle radici è il coefficiente del termine di grado subito minore del massimo, cambiato di segno; dunque $ S=2 $ e puoi sostituirlo nell'espressione estesa di $p $
In particolare se sai che $ p $ è di quarto grado e ha come radici $ a, b, c, d $ allora puoi scrivere $ p (x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) $
Ora, per il 3, se chiami $ S=a+b+c+d $, vedi che ti sta chiedendo proprio $(S-a)(S-b)(S-c)(S-d) $, che in virtù di quello che abbiam detto prima è esattamente $ p (S) $
Infine, se provi ad espandere i conti, vedi che la somma delle radici è il coefficiente del termine di grado subito minore del massimo, cambiato di segno; dunque $ S=2 $ e puoi sostituirlo nell'espressione estesa di $p $
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- karlosson_sul_tetto
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Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Riscrivo anche io:
hai un polinomio p(x), puoi fare la divisone euclidea per un qualsiasi altro polinomio (ottenendo un quoziente ed un resto che sono polinomi, con coefficienti che dipendono da p(x) e dal divisore: se p(x) e il divisore hanno coefficienti razionali allora i coefficienti del quoziente (che chiamo q(x) e del resto sono razionali, se sono reali saranno reali, se sono interi e il divisore è monico allora saranno interi ecceter); il grado del Polinomio Resto (chiamiamolo r(x)) ha grado minore del divisore (se fosse maggiore o uguale potrei dividere ancora). Se divido p(x) per un polinomio di primo grado (x-a), ottengo:
$ p(x)=(x-a)q(x)+r(x) $
Per quanto detto prima, r(x) ha grado minore di (x-a), quindi è un polinomio di grado 0 (visto che x-a ha grado 1), quindi è una costante; per trovarcela pongo x=a nell'espressione sopra:
$ p(a)=(a-a)q(x)+r(x) $
$ p(a)=r(x) $
Ora la formula diventa
$ p(x)=(x-a)q(x)+p(a) $
che equivale a dire (ponendo x=b per bellezza)
$ p(b)-p(a)=(b-a) q(b) $
Ora se p(x) ha coefficienti interi, a e x sono interi,allora p(a) e p(x) sono interi cosi come la loro differenza. q(x) è intero (perché?) quindi il numero b-a divide p(b)-p(a).
Come Drago ti consiglio di vedere un A1 del senior basic che ha la teoria che ti serve (e non solo)
hai un polinomio p(x), puoi fare la divisone euclidea per un qualsiasi altro polinomio (ottenendo un quoziente ed un resto che sono polinomi, con coefficienti che dipendono da p(x) e dal divisore: se p(x) e il divisore hanno coefficienti razionali allora i coefficienti del quoziente (che chiamo q(x) e del resto sono razionali, se sono reali saranno reali, se sono interi e il divisore è monico allora saranno interi ecceter); il grado del Polinomio Resto (chiamiamolo r(x)) ha grado minore del divisore (se fosse maggiore o uguale potrei dividere ancora). Se divido p(x) per un polinomio di primo grado (x-a), ottengo:
$ p(x)=(x-a)q(x)+r(x) $
Per quanto detto prima, r(x) ha grado minore di (x-a), quindi è un polinomio di grado 0 (visto che x-a ha grado 1), quindi è una costante; per trovarcela pongo x=a nell'espressione sopra:
$ p(a)=(a-a)q(x)+r(x) $
$ p(a)=r(x) $
Ora la formula diventa
$ p(x)=(x-a)q(x)+p(a) $
che equivale a dire (ponendo x=b per bellezza)
$ p(b)-p(a)=(b-a) q(b) $
Ora se p(x) ha coefficienti interi, a e x sono interi,allora p(a) e p(x) sono interi cosi come la loro differenza. q(x) è intero (perché?) quindi il numero b-a divide p(b)-p(a).
Come Drago ti consiglio di vedere un A1 del senior basic che ha la teoria che ti serve (e non solo)
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- Troleito br00tal
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Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
E qual è?karlosson_sul_tetto ha scritto:e tra le risposte date non è difficile trovare quella giusta
Re: Polinomi Olimpiadi a squadre
Ahahah
Palese che è 42!
A parte gli scherzi, hai trasformato un 56 in 5 nel copiare dal testo di archimede al forum...
Palese che è 42!
A parte gli scherzi, hai trasformato un 56 in 5 nel copiare dal testo di archimede al forum...
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