Japan 2012 n.2

[Scugnamì]

Determinare tutte le funzioni $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ tali che $ f(f(x+y)f(x-y))=x^2-yf(y) $ per ogni $ \ x,y\in\mathbb{R}. $

[LucaMac]

Chiamo $ P(x,y) $ l'asserzione $ f(f(x+y)f(x-y)) = x^2 - yf(y) $
da $ P(0,0) $ si ricava $ f([f(0)]^2) = 0 $ , quindi esiste $ a $ tale che $ f(a) = 0 $
da $ P(0,a) $ si ricava $ f(0) = 0 $
da $ P(-y, y) $ si ricava $ yf(y) = y^2 $ per ogni $ y \in \mathbb{R} $
E quindi $ f(y) = y $ per ogni $ y $ reale diverso da $ 0 $ , ma $ f(0) = 0 $ , quindi
\begin{equation}
f(x) = x \forall x \in \mathbb{R}
\end{equation}
Bisogna ora verificare la soluzione, ma
\begin{equation}
f(f(x+y)f(x-y)) = f(x^2 - y^2) = x^2 - y^2 = x^2 - yf(y)
\end{equation}
per ogni $x,y \in \mathbb{R} $ .
Quindi $f(x) = x $ per ogni $x \in \mathbb{R} $ soddisfa!

[Scugnamì]

Giusto ovviamente. Alternativamente si poteva dire. Con $x=0$ si ha $f(f(y)f(-y))=-yf(y)$ da cui dimostriamo la disparità. Si ha poi con $y=0$ che $f(f(x)^2)=x^2$. Sostituendo come hai fatto tu si ha $f(0)=0 $ e utilizzando la disparità si ha $ f(-f(y)^2)=-y^2=-yf(y) $ dividiamo tanto sappiamo già cosa succede con $0$ e si ha $f(y)=y$.

Ah LUCA ALLE IMO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"""""!11111"!!!