CS. Sui complessi. Al contrario.

[Drago96]

Siano $ a, b, c, d\in\mathbb R $ con $ a^2+b^2\le1 $. Dimostrare che $$(ac+bd-1)^2\ge (a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1) $$

[Troleito br00tal]

Miglior titolo di sempre

[matpro98]

Scusa, ma se appartengono a $\mathbb R$, i complessi del titolo dove stanno?

[Drago96]

Ehm, è una battuta... (ben grazie, fantasmino giallo!)
Spero sia ovvio che con i complessi non si possono fare disuguaglianze...

P.S: il titolo e la disuguaglianza in realtà arrivano da una discussione con il buon Delfad0r...

[Delfad0r]

Consideriamo le terne $ (a, b, i) $ e $ (c, d, i) $, e applichiamo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, ricordando che $ i^2=-1 $:
$$
(ac+bd-1)^2 \ge (a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1)
$$
(notiamo che il verso della disuguaglianza è invertito poichè uno dei numeri in entrambe le terne è immaginario).
E abbiamo vinto, senza nemmeno utilizzare il vincolo $ a^2+b^2 \le 1$.

PS: però non mi pare una buona idea mettere suggerimenti nel titolo... così è un po' troppo facile!

[karlosson_sul_tetto]

Problema carino, propongo una soluzione meno swag:

Siccome $a^2+b^2\leq 1$, $a^2+b^2-1$ è negativo; il LHS è positivo essendo un quadrato, quindi se $c^2+d^2-1\geq 0$ la tesi è vera perché non negativo$\geq$ non positivo. Quindi posso supporre $c^2+d^2\leq 1$ rendendo la cosa simmetrica (osservazione intelligente ma inutile).
Sviluppo le parentesi:
$ a^2c^2+b^2d^2+1-2ac-2bd+2abcd\geq a^2c^2+a^2d^2-a^+b^2c^2+b^2d^2-b^2+1-c^2-d^2 $
$ a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\geq a^2d^2+b^2c^2-2abcd $
$ (a-c)^2+(d-b)^2\geq (ad-bc)^2 $
$ (a-c)^2+(d-b)^2\geq (da-ba+ba-bc)^2 $
$ (a-c)^2+(d-b)^2\geq (a(d-b)+b(a-c))^2 $
Ora per semplicità chiamo $a-c=x$ e $d-b=y$
$ x^2+y^2\geq (ay+bx)^2=a^2y^2+2abxy+b^2x^2 $
Ora sfruttando il fatto $1-a^2\geq b^2$ e simmetrica mi basta dimostrare la seguente tesi più forte:
$ \frac{a^2x^2+b^2y^2}{2}\geq abxy $
Questa è vera per AM-GM applicata alla coppia $(a^2x^2,b^2y^2)$