96. Disuguaglianza ciclica con troppe variabili

[scambret]

Dimostrare che per $n \geq 4$, e per ogni scelta di $(a_1,...,a_n)$ reali positivi tale che $a_1^2+...+a_n^2=1$ si ha che

$$\frac{a_1}{a_2^2+1}+\cdots+\frac{a_n}{a_1^2+1}\geq\frac{4}{5}\left( a_1\sqrt{a_1}+\cdots+a_n\sqrt{a_n}\right)^2$$

PS editato

[karlosson_sul_tetto]

1) la condizione è: somma dei quadrati uguale 1 o somma normale uguale 1?
2) Gli x_i di prima e gli a_i di dopo sono la stessa cosa?

[Delfad0r]

Lemma potente
Data una $n$-upla di reali positivi $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ con $n\ge4$, vale
$$
(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2\ge4(x_1x_2+x_2x_3+\ldots x_{n-1}x_n+x_nx_1)
$$
Dimostrazione. La dimostrazione avviene per induzione.

• Passo base ($n=4$)
  $$
  (x_1+x_2+x_3+x_4)^2=((x_1+x_3)+(x_2+x_4))^2\underset{\text{AM-GM}}{\ge}4(x_1+x_3)(x_2+x_4)=4(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1)
  $$
• Passo induttivo ($n\to n+1$)
  Supponiamo $(*)$ che esista un $k$ tale che $x_kx_{k+2}+x_{k+1}x_{k+3}\ge x_{k+1}x_{k+2}$ (gli indici sono da intendersi ciclicamente) e, senza perdita di generalità (ovvero per pigrizia mia), supponiamo $k=1$ (tanto la sommatoria è ciclica).
  Ora, l'ipotesi induttiva applicata sulla $n$-upla $(x_1,x_2+x_3,x_4,\ldots,x_n,x_{n+1})$ ci dice che
  $ \begin{align*} (x_1+(x_2+x_3)+x_4+\ldots+x_n+x_{n+1})^2\ge& 4(x_1(x_2+x_3)+(x_2+x_3)x_4+x_4x_5+\ldots+x_nx_{n+1}+x_{n+1}x_1)\\ =&4(x_1x_2+x_3x_4+\ldots+x_nx_{n+1}+x_{n+1}x_1)+4(x_1x_3+x_2x_4) \end{align*} $
  Ma avevamo supposto $(*)$ che $x_1x_3+x_2x_4\ge x_2x_3$, pertanto
  $$
  (x_1+(x_2+x_3)+x_4+\ldots+x_n+x_{n+1})^2\ge4(x_1x_2+x_3x_4+x_4x_5+\ldots+x_nx_{n+1}+x_{n+1}x_1)+4x_2x_3
  $$
  e abbiamo finito.

Quasi.
$(*)$ Rimane da dimostrare che un tale $k$ esiste. Notiamo che è sufficiente scegliere $k$ tale che $x_k\ge x_{k+1}$, in modo che $x_kx_{k+2}\ge x_{k+1}x_{k+2}$. Ma tale $k$ esiste sicuramente, altrimenti si avrebbe
$$
x_1<x_2<x_3<\ldots<x_n<x_1
$$
chiaramente assurdo.




Dimostrazione vera e propria
Cominciamo con i soliti passaggi per abbellire un po' il LHS:
$$
\sum_{cyc}\frac{a_1}{a_2^2+1}=\sum_{cyc}\frac{a_1^3}{a_1^2a_2^2+a_1^2}\underset{\text{Titu}}{\ge}\frac{\left(\sum_{cyc}a_1\sqrt{a_1}\right)^2}{\sum_{cyc}a_1^2+\sum_{cyc}a_1^2a_2^2}=\frac{\left(\sum_{cyc}a_1\sqrt{a_1}\right)^2}{1+\sum_{cyc}a_1^2a_2^2}
$$
Ora, noi vorremmo
$$
\frac{\left(\sum_{cyc}a_1\sqrt{a_1}\right)^2}{1+\sum_{cyc}a_1^2a_2^2}\stackrel{?}{\ge}\frac{4}{5}\left(\sum_{cyc}a_1\sqrt{a_1}\right)^2
$$
ovvero
$$
\sum_{cyc}a_1^2a_2^2\stackrel{?}{\le}\frac{1}{4}
$$
ovvero (ricordando che $1=\sum_{cyc}a_1^2=\left(\sum_{cyc}a_1^2\right)^2$)
$$
4\sum_{cyc}a_1^2a_2^2\stackrel{?}{\le}\left(\sum_{cyc}a_1^2\right)^2
$$
la qual cosa è vera grazie al Lemma potente (con $x_i\leftarrow a_i^2$).

[scambret]

Mi pare corretta.