quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Julito
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quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da Julito »

Salve, il problema riassunto è questo:
Dato il polinomio in n

$n^4+3n^3+n^2+2n+13$

Determinare per quali n interi, $P(n)=k^2$ , con k intero positivo.

Grazie a tutti.
Ultima modifica di Julito il 25 nov 2014, 14:52, modificato 1 volta in totale.
Julito
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da Julito »

Vanno bene anche delle idee su cui lavorare... I due valori di K li ho trovati... grazie ragazzi.
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Drago96
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da Drago96 »

Di solito in questi casi l'idea è "chiudere il polinomio" tra due quadrati...
Qua si potrebbe provare a confrontarlo con $(n+1)^4$ e cose simili, ma è quasi sicuro che non venga perché il termine di grado 3 ha coefficiente dispari, dunque serve qualche accorgimento in più (stile un SNS dell'anno scorso forse)... :)
Lascio l'onore (forse in questo caso di più l'onere) di fare un po' di prove a chi ha voglia e non ha mai visto cose del genere ;)

P.S: andrebbe in TdN direi
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fph
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da fph »

Intanto cominciamo a vedere se hai visto qualche versione più facile di questa idea "chiudere tra due quadrati": se invece di quel polinomio ci fosse per esempio $n^4+9$, lo sapresti risolvere?
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da Julito »

Premetto che n^4+9, lo avrei risolto considerando semplicemente il fatto che la differenza tra due quadrati consecutivi è il dispari di posto successivo al quadrato, n^2 il quadrato successivo è n^2+2n+1; oppure se i quadrati non consecutivi più numero dispari consecutivi a partire da quello di posto n. Detto questo la soluzione di n^4+9=k^2
Si ha solo per n=0 k=3; n=2 k=5, n=-2 k=5, e per quanto detto prima dovrei aver concluso ( se non mi sbaglio ).

Adesso, "chiudiamo tra due quadrati", vediamo se mi è chiaro:
(n^2)^2<= n^4 +9 <= (n^2+3)^2 Bene, ma a questo punto si va avanti con la considerazione che ho fatto prima, o esiste un'altra idea?
fph
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da fph »

Più o meno è la considerazione che hai fatto tu. Nota che quelle disuguaglianze sono disuguaglianze strette: $(n^2)^2 < n^4 +9 < (n^2+3)^2$. Quindi dev'essere $n^4+9=(n^2+1)^2$ oppure $n^4+9=(n^2+2)^2$, e da qui concludi facile perché sono due uguaglianze. Ora, sapresti trattare con questa tecnica $n^4+2n^2+37$? E $n^4+2n^3+15$?

Sto facendo passi successivi leggermente più complicati per approcciare l'idea. Il problema originale è decisamente tecnico. In che gara era? Pubblico 2014 se ricordo bene? O nella finale?
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da Julito »

Trattasi del 12 di finale.... Il resto delle tue domande tenterò pomeriggio.
Julito
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da Julito »

Il primo $n^4+2n^2+37$ , stabilito che per n=0 non si ottiene un quadrato,
si può facilmente limitare $(n^2+1)^2<(n^2+1)^2+36<(n^2+6)^2$
da cui si possono provare i vari casi, ad esempio:
$(n^2+1)^2+36=(n^2+2)^2$ ; $2n^2=33$ quindi n non è intero.
Allo stesso modo, se non mi sbaglio, non dovrei ottenere n intero, quindi non si ottengono quadrati per tale polinomio.

Il secondo $n^4+2n^3+15$, anche in questo caso per n=0 non si ottiene un quadrato, quindi analizziamo il caso per n>0,
$n^2(n)^2<n^2((n+1)^2-1)<n^2((n+1)^2-1)+15<n^2(n+4)^2$
Così va bene?
( provando con $n^4+2n^3+15=n^2(n+1)^2$, $n^4+2n^3+15=n^2(n+2)^2$, e $n^4+2n^3+15=n^2(n+3)^2$ non ottengo alcun valore di n. ????)
Così si può? Penso di andare avanti, oppure esiste qualcosa di meglio?
e per n<0?
GimmyTomas
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da GimmyTomas »

Scrivo in breve (e senza riportare tutti i conti) come l'ho risolto: vorrei chiedere se esiste qualcosa di più rapido o furbo da fare.
Siano:
$ \displaystyle p_1(n)=\left(n^2+\frac{3}{2}n-1\right)^2=n^4+3n^3+\frac{1}{4}n^2-3n+1 $
$ \displaystyle p_2(n)=\left(n^2+\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}\right)^2=n^4+3n^3+\frac{5}{4}n^2-\frac{3}{2}n+\frac{1}{4} $
$ \displaystyle p_3(n)=\left(n^2+\frac{3}{2}n\right)^2=n^4+3n^3+\frac{9}{4}n^2 $
Notiamo che per $ n $ pari sono interi $ p_1(n) $ e $ p_3(n) $, mentre per $ n $ dispari è intero $ p_2(n) $.
Svolgendo qualche conto, troviamo che:
$ p(n)>p_1(n)\ \forall\ n $.
$ p(n)\leq p_2(n) $ per $ n\leq -3 $ e $ n\geq17 $ (da qui viene fuori che per $ n=-3 $ e $ n=17 $ accade che $ p(n) $ è un quadrato, dato che per questi valori $ p_2(n) $ è intero).
$ p(n)<p_3(n) $ per $ n<\frac{4-\sqrt{276}}{5} $ e $ n>\frac{4+\sqrt{276}}{5} $ (cioè, considerando valori interi, per $ n\leq -3 $ e $ n\geq5 $).
Quindi abbiamo escluso $ n< -3 $ e $ n>17 $ (dato che $ p(n) $ è certamente confinato tra due quadrati di interi); abbiamo trovato che per $ n=-3 $ e $ n=17 $, $ p(n) $ è un quadrato; abbiamo escluso $ n< -3 $ (inutile...) e $ n>4 $ (dato che lo stesso è certamente confinato tra due quadrati di interi). Rimangono i casi tra $ -2 $ e $ 4 $.
Svolgendo qualche conto modulo $ 3 $ e modulo $ 4 $ vediamo che $ n $ non può essere congruo a $ 1 \pmod 3 $ o a $ 3 \pmod 4 $. Quindi restano da provare $ n=0 $ e $ n=2 $, che non danno frutti.
Julito
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Re: quadrato da un polinomio (GaS 2014 Finale)

Messaggio da Julito »

Sembra funzionare, tuttavia sto cercando qualcosa di migliorativo... Vedremo
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