f(xy) = xf(y) + yf(x)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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erFuricksen
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f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da erFuricksen »

Si ha la seguente relazione per tutti gli x,y reali positivi

$ f(x y) = x f(y) + y f(x) $

Determinare tutte le f(x)
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
LucaMac
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da LucaMac »

$ f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R} $ ?
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erFuricksen
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da erFuricksen »

certo :wink:
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
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Lasker
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da Lasker »

Dividiamo entrambi i membri per il prodotto $xy$ (diverso da $0$ in quanto $x,y\in\mathbb{R}^+$)
$$\frac{f(xy)}{xy}=\frac{f(y)}{y}+\frac{f(x)}{x}$$
Sostituiamo ora $g(x)\leftarrow \frac{f(x)}{x} $, ottenendo
$$g(xy)=g(x)+g(y)\ \ \forall\ x,y\in\mathbb{R}^+$$
Sostituiamo ora $x\leftarrow e^a$ e $y\leftarrow e^b$ (posso farlo perché l'esponenziale è una funzione suriettiva su $\mathbb{R}^+$), ottenendo
$$g(e^{a+b})=g(e^a)+g(e^b)\ \ \forall a,b\in\mathbb{R}$$
E ora sostituiamo di nuovo $g(e^x)\leftarrow h(x)$, ottenendo finalmente
$$h(a+b)=h(a)+h(b)\ \ \forall \ a,b\in\mathbb{R}$$
Che è una Cauchy ed ha come soluzione $h(x)=cx$ per una qualche costante $c$. Risalendo all'indietro, trovo che $g(x)=c\ln(x)$ e che $f(x)=cx\ln(x)$, sostituendola nell'equazione iniziale si ha infine
$$cxy\ln{xy}=ycx\ln{x}+xcy\ln{y} \Leftrightarrow \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$$
Che è una banale identità per ogni costante $c\in\mathbb{R}$, grazie alle proprietà dei logaritmi. L'unica soluzione dovrebbe quindi essere
$$f(x)=cx\ln(x) \forall x \in \mathbb{R}^+$$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

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Troleito br00tal
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da Troleito br00tal »

Sei sicuro che il codominio non sia R+? Perché altrimenti mi sembra non si possa risolvere la Cauchy (a meno che ci siano altre ipotesi che non ho visto)
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Lasker
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da Lasker »

In effetti mi mancano delle ipotesi che impediscano le brutte soluzioni esotiche (per me dimenticare questa verifica sembra essere la norma...)
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erFuricksen
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da erFuricksen »

Beh in realtà questo problema lo ho inventato io, quindi volendo potrei decidere che $ f(x) $ è continua tanto per farlo venire :D ahahaha
Avevo intuito che $ f(x)= c x \ln x $ tuttavia non ero riuscito a dimostrarlo e non ci ho pensato più di tanto perché ero impegnato con il WC :?
Comunque mi è piaciuta molto la tua dimostrazione :) grande
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
erFuricksen
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da erFuricksen »

Aspettate un attimo, rileggendo questo vecchio topic non ho potuto fare a meno di pormi una domanda... Ma è necessario che io prenda come base della funzione g il numero $ e $?
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
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Lasker
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da Lasker »

No, l'ho scelto per comodità (la base naturale è la più comoda per lavorare di solito, allora la utilizzo di default :lol: ), se avessi preso un qualsiasi reale positivo $a\ne 1$ ci sarebbe stato semplicemente $\log_a(x)$ al posto di $\ln(x)$, che differisce dal secondo solamente per un fattore correttivo $\frac{1}{\log_a(e)}$ (usando la formula del cambio di base dei logaritmi), che può essere "inglobato" senza paura nella costante $c$ dell'espressione finale delle soluzioni.
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erFuricksen
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da erFuricksen »

Ma se mi capitasse una dimostrazione di questo tipo in gara, posso considerare $ e $ come base invece che una base generica senza perdere punti oppure devo considerare il caso più generale?
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
PIELEO13
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Re: f(xy) = xf(y) + yf(x)

Messaggio da PIELEO13 »

e va bene perché è la più comoda, al massimo specifica che la prendi appunto per comodità.. non ha senso parlare di più o meno generico perché trattandosi di log puoi sempre fare un cambio base, proprio come diceva Lasker
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