Finale Cesenatico 2008

[dido174]

Metto due hint

Testo nascosto:

487 è un po' brutto, invece 486 no

Testo nascosto:

Prova a vedere, ipotizzando che $a_{n+1}$ sia un quadrato, cosa succede ad $a_n$

e la mia soluzione (molto in stile gara a squadre )

Testo nascosto:

Scrivo $487 = 486+1$ e $486= 2\cdot 3^5$. Allora $a_{n+1} = a_n ^5 + 2 \cdot 3^5 +1$, che mi ricorda il quadrato di $\left(3^5+1\right)$. Intuitivamente direi che $a_{n+1}$ è un quadrato perfetto solo se corrisponde a quest'ultima quantità, quindi $a_n ^5 = (3^5)^2$ e $a_n =9$, che è anch'esso un quadrato perfetto. Dunque un termine è un quadrato solo se il precedente è 9, e dato che la successione è strettamente crescente 9 apparirà una volta sola e quindi posso avere al massimo due quadrati, che sono consecutivi, il primo 9 e il secondo $244^2$. Questa coppia di valori consecutivi, poiché $a_1 \geq 487$ è ottenibile solo se $m=9$, e dunque la soluzione è proprio 9.

[DamianoY]

Io l'ho risolto pensando ai residui quadratici modulo $ 4 $.
La mia soluzione sembra lunga ma ti assicuro che le osservazioni sono molto semplici, ed in gara si fa tranquillamente

Testo nascosto:

Allora $ 487\equiv 3 mod(4) $ quindi è necessario che $ a_{n}^{5}\equiv 1 mod(4) $ per far si che $ a_{n+1} $ sia un possibile quadrato, ma questa congruenza si può verificare solo per $ a_{0}^{5} $, in maniera tale che $ a_{1}\equiv 0 mod(4) $ ovvero può essere un quadrato (infatti da $ a_{2} $ in poi si entra in un circolo per cui i successivi $ a_{n} $ sono congrui o a $ 2 $ o a $ 3 $ $ modulo(4) $).
Detto questo sappiamo che solo $ a_{0} $ e $ a_{1} $ posso essere quadrati, vediamo se esistono degli $ m $ per cui questo si verifica:
Supponiamo $ m=k^{2} $ e quindi scriviamo $ k^{10}+487=a^{2} $ (con $ k,a\in \mathbb{N} $)
Quindi $ 487=(a+k^{5})(a-k^{5}) $ ma 487 è un numero primo quindi può essere fattorizzato solo come $ 1\times 487 $ in $ \mathbb{N} $.
Scriviamo allora le due equazioni $ (a+k^{5})=487 $ e $ (a-k^{5})=1 $ adesso sommandole membro a membro otteniamo $ 2a=288 $ ovvero $ a=244 $ da cui $ k^{5}=243 $ e quindi $ k=3 $.
Non essendoci altri valori possibili la risposta è $ m=k^{2}=9 $.
Spero di essere stato chiaro e di non aver fatto errori.