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Sia $ P(x) $ un polinomio avente tre radici reali $ a,b,c $. Sapendo che :

$ P(\frac{1}{2}) $ + $ P(-\frac{1}{2}) $ = $ 1000P(0) $

Determinare $ \frac{a+b+c}{abc} $


La risposta numerica è $ 1996 $ (Era di una gara a squadre).
Grazie in anticipo

Non ho provato, ma sappiamo anche che il polinomio è di terzo grado?

Supponendo che il polinomio sia di terzo grado abbiamo, per le formule di Viète:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(0)=-abc $
Da cui
$ P(\frac{1}{2})+P(-\frac{1}{2})=1000P(0)=-1000abc=-\frac{1}{2}(a+b+c) - 2abc $, quindi $ \frac{a+b+c}{abc}=1996 $

mr96 ha scritto:Supponendo che il polinomio sia di terzo grado abbiamo, per le formule di Viète:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(0)=abc $
Da cui
$ P(\frac{1}{2})+P(-\frac{1}{2})=1000P(0)=1000abc=\frac{1}{2}(a+b+c) + 2abc $, quindi $ \frac{a+b+c}{abc}=1996 $

Per voler essere precisi(ssimi) (torna lo stesso in questo caso), non dovrebbe essere:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(0)=-abc $
?

Ovviamente il risultato poi è lo stesso...

DamianoY ha scritto:

mr96 ha scritto:Supponendo che il polinomio sia di terzo grado abbiamo, per le formule di Viète:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)+abc $
$ P(0)=abc $
Da cui
$ P(\frac{1}{2})+P(-\frac{1}{2})=1000P(0)=1000abc=\frac{1}{2}(a+b+c) + 2abc $, quindi $ \frac{a+b+c}{abc}=1996 $

Per voler essere precisi(ssimi) (torna lo stesso in questo caso), non dovrebbe essere:
$ P(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)-abc $
$ P(0)=-abc $
?

Ovviamente il risultato poi è lo stesso...

Yep, ho invertito i segni, la stanchezza gioca brutti scherzi

Grazie infinite