Somme abbastanza grandi

[Drago96]

Dato $n\ge4$, siano $x_1,\dots,x_n$ numeri reali tali che $$x_1+x_2+\dots+x_n\ge n\;\;\;\;\;\text e\;\;\;\;\; x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\ge n^2$$
Dimostrare che $\text{max}(x_1,\dots,x_n)\ge2$

[erFuricksen]

Supponiamo che $ \forall x_k < 2 $, allora sicuramente $ \sum_{k=1}^n x_k^2 < 4 n $
quindi $ n^2 \le \sum_{k=1}^n x_k^2 < 4 n $
allora $ n^2 < 4n $ e quindi $ n<4 $ (lo 0 è trascurabile, non si possono avere 0 numeri). Ma questo contraddice l'ipotesi $ n \ge 4 $
Quindi necessariamente esisterà almeno un $ x_k \ge 2 $

[AGallese]

Ma $x_k^2 \geq 4$ anche se $x_k \leq -2$

[erFuricksen]

Hai ragione, ci penso e correggo

[gpzes]

..forse è spoiler

Testo nascosto:

Se $\sum\limits_{i}{x_{i}^{2}}\ge {{n}^{2}}$ , allora esiste $x_{j}^{2}\ge n$.
Se ${{x}_{j}}\ge 0$ si conclude; altrimenti, ${{x}_{j}}\le -\sqrt{n}.$
Sia $S=\sum\limits_{i}{x}\ge n$ e consideriamo $S-{{x}_{j}}\ge n-{{x}_{j}}$.
Allora esiste ${{x}_{h}}\ge (n-{{x}_{j}})/(n-1)=1+\left( \left( 1-{{x}_{j}} \right)/n-1 \right)$.
Da qui, due casi, ricordando che $n-2\ge \sqrt{n}$ per $n\ge 4$.