Problema di algebra, raggruppamento provinciale di febbraio

[polarized]

Salve a tutti, ho un problema piuttosto serio con i vari problemi di algebra, in particolare quelli del tipo "quante sono le soluzioni intere di ..." anche quelli che sembrano più banali; dove posso trovare delle dritte per questo tipo di problemi? Io ho guardato nel libro "schede olimpiche" di Massimo Gobbino e nelle "dispense olimpioniche" dell'università di Torino ma forse perchè per queste cose non ho un occhio attento non ho trovato nulla di davvero utile. Spesso vado a controllare le soluzioni che vengono proposte ma mi sembrano in generale davvero diverse le une dalle altre e non comprendo la logica che ci sta dietro, non capisco che strada bisogna intraprendere per arrivare alla soluzione.
Per non restare così nel vago ne posto uno con il quale ho avuto dei problemi:
quante sono le coppie di interi positivi (x,y) che verificano l'equazione:
$ x^2 + y^2 - 2004x -2004y +2xy - 2005 = 0 $
Considerando per x=/y che la coppia (x,y) sia diversa da (y,x)
io ho provato a procedere così:
$ x^2 -2004x + xy +y^2 - 2004y + xy = 2005 $
$ ( x - 2004 + y)( x + y) = 401*5 $
Ma adesso mi incastro e non so procedere; è una buona idea cercare di raccogliere in fattori per poi trovari i possibili divisori del numero al secondo membro?

[matpro98]

Intanto, se parla di numeri interi è teoria dei numeri; poi il tuo procedimento dovrebbe andar bene, ci sono pochi casi da controllare a mano e si conclude.

[karlosson_sul_tetto]

Intanto benvenuto
In genere nei problemi olimpionici, a differenza di molti problemi scolastici, non c'è una serie di regole precise da seguire per risolvere questo o quell'altro esercizio, servono idee. A livelli di archimede/febbraio queste idee non sono tante, però non sono neanche poche; basta guardare tanti esercizi e poi cercare di applicare le stesse idee "standard" anche ad altri esercizi.
In questo esercizio, hai fatto dei passaggi giusti, ora ti manca poco: come tu stesso hai detto, prova a scomporre 2005 in tutte le possibili coppie di fattori positivi [(1,2005);(5,401);(401,5);(2015,1)] e per ogni caso ti fai il sistema in cui il primo termine è $x+y-2004$ e il secondo è $x+y$.

[polarized]

Sono stato un pollastro, non so come abbia potuto dimenticare che 2005 lo posso considerare come 2005*1! Scusate se ho sbagliato sezione, cercherò di essere più attento.
Per quanto riguarda comunque la teoria dei numeri mi da più problemi delle altre categorie perchè, almeno secondo per la mia esperienza, è piuttosto lontana dagli argomenti scolastici, per fortuna che recupero un pò di punti in combinatoria e geometria.
Grazie ancora a tutti, staserà proverò a finire il problema!

[erFuricksen]

Piccolo hint per risolvere

Testo nascosto:

prova a scrivere $ x^2+y^2+2xy $ come $ (x+y)^2 $

[polarized]

Alla fine sono riuscito a risolverlo a modo mio, @erfuricksen con il tuo metodo mi sarei sicuramente inceppato, però è la soluzione che propone il testo

Qua scrivo la conclusione del mio metodo:

$ x^2 + y^2 - 2004x -2004y +2xy - 2005 = 0 $
$ x^2 -2004x + xy +y^2 - 2004y + xy = 2005 $
$ ( x - 2004 + y)( x + y) = 2005 $
Quindi
$ \begin{cases} x+y-2004=1 \\ x+y=2005 \end{cases} $
Sono le uniche soluzioni accettabili, infatti diventa:
$ x+y=2005 $
che ha 2004 soluzioni (x assume valori da 1 a 2004 e y=2005-x)

In effetti questo era fattibile: se avete qualche consiglio in generale su problemi di questo tipo o qualche suggerimento relativo a diversi libri sarà ben accetto, grazie ancora a tutti

[nic.h.97]

Il metodo suggerito da erfuricksen è utile e potresti impararlo:
$ (x+y)^2 - 2004 (x+y) - 2005 = 0 $
A questo punto si nota facilmente che è del tipo $ t^2-2004t-2005 $
possiamo allora scomporre ( somma = -2004 e prodotto =-2005 ...)
$ (x+y-2005)(x+y+1)=0 $
Poiché il testo dice $ x $ e $ y $ positivi , il fattore $ x+y+1 > 0 $
Quindi necessariamente $ x+y-2005=0 $
A questo punto hai fatto perchè x=1..........2004 e y=2004 ........ 1