Come suggeriva Darkcrystal possiamo dire che
$ {n^2 -x \over xn^2}-1 \le {n^2 \over xn^2+1} \le {n^2-x \over xn^2} $
Inoltre, come ci dice l'equazione iniziale $ {n^2 \over xn^2+1}=k $ con $ k \in \mathbb{Z} $
Quindi facciamo un po' di calcoli:
$ (xn^2+1)(n^2-x-xn^2) \le xn^4 \le (n^2-x)(xn^2+1) $
$ xn^4-x^{2} n^{2}-x^2n^4+n^2-x-xn^2 \le xn^4 \le xn^4+n^2-x^2 n^2-x $
$ n^2-x^2n^2-x^2n^4-x-xn^2 \le 0 \le n^2-x^2n^2-x $
$ n^2 -x(xn^2+1)(n^2+1) \le 0 \le n^2-x(xn^2+1) $
$ x(xn^2+1) \le n^2 \le x(xn^2+1)(n^2+1) $
ma siccome x e n sono positivi posso dire che
$ 1 \le {n^2 \over x(xn^2+1)} \le n^2+1 $
ma quindi
$ 1 \le {k \over x} \le n^2 +1 $
Riprendendo l'equazione che avevo scritto all'inizio dico che $ {n^2 \over xn^2+1}=k $ quindi
$ n^2=xn^2k+k $ perciò
$ x={n^2-k \over kn^2} $ quindi nella disuguaglianza diventa
$ 1 \le {k^2n^2 \over n^2-k} \le n^2+1 $
Abbiamo allora il sistema:
$ \begin{cases}n^2k^2+k-n^2 \ge 0 \\ k^2n^2+(n^2+1)k-n^2(n^2+1) \le 0 \end{cases} $***
notando dalla definizione di k che esso deve essere positivo se x è positivo allora
$ \begin{cases}k \ge {\sqrt{4n^4+1}-1 \over 2n^2}\\k \le {\sqrt{n^6+2n^4+2n^2+1}-(n^2+1) \over 2n^2} \end{cases} $
Analizzando la prima disequazione notiamo che $ \sqrt{4n^4+1} \le 2n^2+1 $ perciò $ \sqrt{4n^4+1}-1 \le 2n^2 $
da cui ricaviamo che per ogni n avremo $ k \ge 1 $
Pertanto se vogliamo che x possa acquisire esattamente 2013 valori positivi allora anche k deve assumere 2013 valori positivi, il che vuol dire che, visto che è accettabile $ k \ge 1 $, dobbiamo avere
$ \lfloor {\sqrt{n^6+2n^4+2n^2+1}-(n^2+1) \over 2n^2} \rfloor =2013 $
A questo punto possiamo notare che $ (n^3+n)^2 < n^6+2n^4+2n^2+1 < (n^3+n+1)^2 $, pertanto introduciamo un certo $ \alpha \in \mathbb{R} $ tale che $ 0 < \alpha < 1 $ e avremo
$ 2013 \le {n^3-n^2+n-1+ \alpha \over 2n^2} < 2014 $
$ 4026n^2 \le (n-1)(n^2+1)+ \alpha < 4028n^2 $
$ \begin{cases} (n-1)(n^2+1)+ \alpha \ge 4026n^2\\(n-1)(n^2+1)+ \alpha < 4028n^2 \end{cases} $
Prendiamo la prima disequazione:
$ n^3-n^2+n-1 + \alpha \ge 4026n^2 $
$ n(n^2+1) + \alpha \ge 4027n^2 +1 $
$ n(n^2+1) + \alpha \ge 4027(n^2+1)-4026 $
Da cui arriviamo finalmente a
$ n \ge 4027-{4026+ \alpha \over n^2+1} $
Arrivati a questo punto vediamo come varia il valore di RHS al variare di n:
se $ n <64 $ vediamo che $ {4026+ \alpha \over n^2+1} < 2014 $ perciò avremo $ RHS \ge 2013 $ e quindi ben maggiore di n, escludendo questi casi. Se invece $ n \ge 64 $ vediamo che $ {4026+ \alpha \over n^2+1} < 1 $ perciò $ \lfloor RHS \rfloor = 4026 $ ma anche $ RHS > 4026 $, perciò saranno accettabili tutti gli $ n \ge 4027 $
Un discorso simile vale per la seconda disuguaglianza, che può essere scritta come
$ n \le 4029 - {4028 + \alpha \over n^2+1} $
e analogamente a prima possiamo dire che $ n<4029 $
Perciò gli $ n $ accettabili saranno $ n=4027 $ e $ n=4028 $
Spero di non aver scritto cavolate