Ecco il testo delle BMO (problema 5)
Dati $a,b,c$ positivi dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{a}{b+c} +\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}} \geq \frac{5}{2} $
BMO 2015.5
Re: BMO 2015.5
La disuguaglianza è omogenea di grado 0, quindi possiamo imporre WLOG che valga $a+b+c=1$. Usando poi il lemma di titu in modo classico come si fa per dimostrare la Nesbitt, otteniamo
$$LHS=\sum_{cyc}\frac{a^2}{ab+ac}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}}=\frac{1}{2x}+\sqrt{\frac{x}{1-2x}}:=f(x)$$
Ma studiando questa funzione in $]0,1/2[$ sappiamo bene dalla scuola che il minimo si ha quando si annulla la derivata prima $f'(x)$
$$f'(x)=-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{1-2x}}}\cdot \frac{1-2x+2x}{(1-2x)^2}=0$$
Semplificando l'espressione, ci si riconduce a risolvere
$$\sqrt{\frac{1-2x}{x}}=\frac{(1-2x)^2}{x^2}$$
Quadrando da entrambe le parti, semplificando il semplificabile e portando tutto a sinistra otteniamo
$$x^3-(1-2x)^3=0$$
Che ha la soluzione banale $x=1-2x\Rightarrow x=\frac{1}{3}$, la quale sostituita nella $f$ dà proprio il valore $\frac{5}{2}$ che vorremmo dimostrare essere un minimo assoluto. Se ora dimostriamo che $f'(x)$ è monotona, abbiamo finito perché ci può essere solo una soluzione (e quindi un solo minimo), dal momento che vicino agli estremi del dominio la $f$ tende a $+\infty$!
Studiando quindi ora $f''(x)$, ovvero
$$f''(x)=3x^2-3(1-2x)^2\cdot(-2)=3x^2+6(1-2x)^2$$
Si vede abbastanza facilmente che è sempre $>0$ (i due quadrati sono sempre $\geq 0$ e non possono annullarsi contemporaneamente), dunque la $f'$ è sempre crescente e quindi dovremmo essere a posto.
$$LHS=\sum_{cyc}\frac{a^2}{ab+ac}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}}=\frac{1}{2x}+\sqrt{\frac{x}{1-2x}}:=f(x)$$
Ma studiando questa funzione in $]0,1/2[$ sappiamo bene dalla scuola che il minimo si ha quando si annulla la derivata prima $f'(x)$
$$f'(x)=-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{1-2x}}}\cdot \frac{1-2x+2x}{(1-2x)^2}=0$$
Semplificando l'espressione, ci si riconduce a risolvere
$$\sqrt{\frac{1-2x}{x}}=\frac{(1-2x)^2}{x^2}$$
Quadrando da entrambe le parti, semplificando il semplificabile e portando tutto a sinistra otteniamo
$$x^3-(1-2x)^3=0$$
Che ha la soluzione banale $x=1-2x\Rightarrow x=\frac{1}{3}$, la quale sostituita nella $f$ dà proprio il valore $\frac{5}{2}$ che vorremmo dimostrare essere un minimo assoluto. Se ora dimostriamo che $f'(x)$ è monotona, abbiamo finito perché ci può essere solo una soluzione (e quindi un solo minimo), dal momento che vicino agli estremi del dominio la $f$ tende a $+\infty$!
Studiando quindi ora $f''(x)$, ovvero
$$f''(x)=3x^2-3(1-2x)^2\cdot(-2)=3x^2+6(1-2x)^2$$
Si vede abbastanza facilmente che è sempre $>0$ (i due quadrati sono sempre $\geq 0$ e non possono annullarsi contemporaneamente), dunque la $f'$ è sempre crescente e quindi dovremmo essere a posto.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
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Re: BMO 2015.5
Se si vogliono evitare le derivate...
Sapendo che $ab+ac+bc \le a^2+b^2+c^2$, allora $\displaystyle q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}} \ge 1$. Perciò il problema si riduce a dimostrare che $\displaystyle q^2+2 +\frac{2}{q} \ge 5$. Ma $\displaystyle q^2-3+\frac{2}{q}=\frac{q^3-3q+2}{q}=\frac{(q-1)^2(q+2)}{q} \ge 0 $, da cui segue la tesi.
Sapendo che $ab+ac+bc \le a^2+b^2+c^2$, allora $\displaystyle q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}} \ge 1$. Perciò il problema si riduce a dimostrare che $\displaystyle q^2+2 +\frac{2}{q} \ge 5$. Ma $\displaystyle q^2-3+\frac{2}{q}=\frac{q^3-3q+2}{q}=\frac{(q-1)^2(q+2)}{q} \ge 0 $, da cui segue la tesi.
[math]
Re: BMO 2015.5
Beh, questo potrebbero pure avertelo insegnato a scuola, ma è falso.Lasker ha scritto: Ma studiando questa funzione in $]0,1/2[$ sappiamo bene dalla scuola che il minimo si ha quando si annulla la derivata prima $f'(x)$
$$f'(x)=-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{1-2x}}}\cdot \frac{1-2x+2x}{(1-2x)^2}=0$$
Ad esempio la funzione $f(x)=\dfrac{1}{x(x-1/2)}$ è definita su $]0,1/2[$, ha la derivata che si annulla in $x=1/4$, ma lì non ha certo un minimo.
Essendo poi definita su un intervallo aperto, non è detto nemmeno che il minimo ce l'abbia, considera $f(x)=\dfrac{1/4-x}{x(1/2-x)}$ che è sempre monotona strettamente crescente in ogni punto di $]0,1/2[$ ... oppure prendi $f(x)=\dfrac{|1/4-x|}{x(1/2-x)}$ che ha un minimo in $x=1/4$, ma lì la derivata non si annulla (non esiste, poveretta).
Quando dite queste cose derivatose, state attenti ...
Re: BMO 2015.5
In effetti con "studiando la funzione" e "sappiamo bene dalla scuola" intendevo più o meno sottintendere l'insieme quelle considerazioni "scolastiche" che permettono di escludere gli altri casi, senza trattare tutto esplicitamente (in effetti mi rendo conto che scritta così come l'ho messa io è molto lacunosa come dimostrazione e probabilmente con questi problemi di fondo uniti ad un utilizzo dell'analisi penso che prenderei ben poco in una gara vera...); anche verso la fine quando provo a mostrare il fatto che la derivata si annulla in un unico punto salto qualche passaggio di troppo credo (di sicuro il tutto poteva essere messo giù in modo molto più chiaro e formale).
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Re: BMO 2015.5
Sì, d'accordo, ma non è questione di "gara vera" ... è che è proprio matematicamente incompleta: chi legge è costretto a fare passaggi e considerazioni da solo "indovinando" cosa intendevi (io vedo vari modi di capire come è fatta quella funzione).
A questo punto, diciamo le cose per bene: $f:]0,1/2[\to\mathbb{R}$ è continua e derivabile (perché ottenuta da polinomi che non si annullano su $]0,1/2[$ tramite operazioni algebriche e radici quadrate).
La derivata è
$$f'(x)=\dfrac{1}{2x^2}\left(\left(\dfrac{x}{1-2x}\right)^{3/2}-1\right)$$
e per studiarne il segno basta studiare quello di
$$\left(\dfrac{x}{1-2x}\right)^{3/2}-1$$
Ora, $t^3-1>0$ se e solo se $t>1$, quindi dobbiamo studiare $\displaystyle\sqrt{\dfrac{x}{1-2x}}>1$ ovvero $x>1-2x$ (con $x\in ]0,1/2[$) da cui $3x>1$ ovvero $x>1/3$.
Dunque la funzione $f$ è decrescente strettamente in $]0,1/3[$ e crescente strettamente in $]1/3,1/2[$, ovvero ha un minimo assoluto in $x=1/3$. Quindi
$$\min_{0<x<1/2} f(x)=f(1/3)=5/2$$
In generale, oltre a specificare cose come la continuità e la derivabilità, il modo migliore per studiare queste questioni di minimo e massimo è fare tutto lo studio del segno della derivata. Altrimenti bisogna ricorrere a teoremi che garantiscano l'esistenza di massimi/minimi. In questo caso, andrebbe ad esempio detto che, poiché
$$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 1/2^{-}}f(x)=+\infty$$
e poiché la funzione è continua, avrà di sicuro un minimo (e comunque questa cosa non è ovvia). Inoltre, essendo derivabile su tutto $]0,1/2[$, tale minimo dovrà essere un punto a derivata nulla.
Inoltre, quando studi il polinomio $x^3-(1-2x)^3$ per capire dove si annulla, confondi lui con $f'(x)$. Dici che $f'(x)$ è monotona, ma lo giustifichi studiando la derivata di $g(x)=x^3-(1-2x)^3$ (e non di $f'(x)$) e non sono la stessa cosa, a priori.
Per la cronaca,
$$f''(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{2}{(1-2 x)^3 \sqrt{\frac{x}{1-2 x}}}+\frac{1}{4 x \sqrt{\frac{x}{1-2 x}} (2 x-1)^3} $$
e questa è tremendamente positiva (maggiore di 1000) su $]0,1/2[$, ma non certo per quello che scrivi tu.
A questo punto, diciamo le cose per bene: $f:]0,1/2[\to\mathbb{R}$ è continua e derivabile (perché ottenuta da polinomi che non si annullano su $]0,1/2[$ tramite operazioni algebriche e radici quadrate).
La derivata è
$$f'(x)=\dfrac{1}{2x^2}\left(\left(\dfrac{x}{1-2x}\right)^{3/2}-1\right)$$
e per studiarne il segno basta studiare quello di
$$\left(\dfrac{x}{1-2x}\right)^{3/2}-1$$
Ora, $t^3-1>0$ se e solo se $t>1$, quindi dobbiamo studiare $\displaystyle\sqrt{\dfrac{x}{1-2x}}>1$ ovvero $x>1-2x$ (con $x\in ]0,1/2[$) da cui $3x>1$ ovvero $x>1/3$.
Dunque la funzione $f$ è decrescente strettamente in $]0,1/3[$ e crescente strettamente in $]1/3,1/2[$, ovvero ha un minimo assoluto in $x=1/3$. Quindi
$$\min_{0<x<1/2} f(x)=f(1/3)=5/2$$
In generale, oltre a specificare cose come la continuità e la derivabilità, il modo migliore per studiare queste questioni di minimo e massimo è fare tutto lo studio del segno della derivata. Altrimenti bisogna ricorrere a teoremi che garantiscano l'esistenza di massimi/minimi. In questo caso, andrebbe ad esempio detto che, poiché
$$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 1/2^{-}}f(x)=+\infty$$
e poiché la funzione è continua, avrà di sicuro un minimo (e comunque questa cosa non è ovvia). Inoltre, essendo derivabile su tutto $]0,1/2[$, tale minimo dovrà essere un punto a derivata nulla.
Inoltre, quando studi il polinomio $x^3-(1-2x)^3$ per capire dove si annulla, confondi lui con $f'(x)$. Dici che $f'(x)$ è monotona, ma lo giustifichi studiando la derivata di $g(x)=x^3-(1-2x)^3$ (e non di $f'(x)$) e non sono la stessa cosa, a priori.
Per la cronaca,
$$f''(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{2}{(1-2 x)^3 \sqrt{\frac{x}{1-2 x}}}+\frac{1}{4 x \sqrt{\frac{x}{1-2 x}} (2 x-1)^3} $$
e questa è tremendamente positiva (maggiore di 1000) su $]0,1/2[$, ma non certo per quello che scrivi tu.