In primo luogo, i polinomi costanti $P(x)=a_0$ che risolvono l'equazione data sono $2$, ovvero $P(x)=-1$ e $P(x)=2$, infatti $a_0^2 - 2 = a_0 \Rightarrow a_0=-1 \lor a_0=2$.
Consideriamo ora i polinomi a coefficienti interi $P(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k $ di grado $n>0$. Eguagliando i coefficienti di $x^{2n}$ a destra e a sinistra nell'equazione data si ottiene che $a_n^2=a_n \Rightarrow a_n=1$.
Supponiamo per assurdo che, se $P(x)$ è soluzione dell'equazione, allora esiste un polinomio $Q(x)$ di grado $h<n$ a coefficienti interi tale che $P(x)+Q(x)$ è soluzione, ovvero $(P(x)+Q(x))^2-2=P(x^2-2)+Q(x^2-2)$, ma $P(x)^2+Q(x)^2+2P(x)Q(x)-2=P(x^2-2)+Q(x^2-2) \Leftrightarrow Q(x)^2+2P(x)Q(x)=Q(x^2-2)$, impossibile, perché LHS è di grado $n+h$, mentre RHS è di grado $2h$.
Quindi, per ogni $n>0$ esiste al più un polinomio di grado $n$ a coefficienti interi, soluzione dell'equazione. In particolare, se $n \le N$, i polinomi cercati non sono più di $N+2$.
Consideriamo ora la successione di polinomi così definita: $$ \begin{cases} P_0(x)=2 \\ P_1(x)=x \\ P_{n+2}(x)=x\, P_{n+1}(x) - P_{n}(x) \end{cases}$$
Si dimostra per induzione che $\forall n \in \mathbb{N}$ $P_{n+1}(x)^2+P_{n}(x)^2+x^2=P_{n+1}(x) \, P_{n}(x) \, x + 4$; infatti, questa è verificata per $n=0$ e vale che
$P_{n+2}(x)^2+P_{n+1}(x)^2+P_{n}(x)^2+x^2=P_{n+1}(x) \, P_{n}(x) \, x + 4+P_{n+2}(x)^2$
$\begin{align*}\Rightarrow
P_{n+2}(x)^2+P_{n+1}(x)^2+x^2
&=P_{n+1}(x) \, P_{n}(x) \, x + 4+x^2 \, P_{n+1}(x)^2-2\, x\, P_{n+1}(x) \, P_{n}(x) \\
&= 4+ x \, P_{n+1}(x) \, [x \, P_{n+1}(x)-P_{n}(x)]=4+ P_{n+2}(x) \, P_{n+1}(x) \, x
\end{align*} $
Si dimostra per induzione che $\forall n \in \mathbb{N}$ $P_{n}$ è soluzione dell'equazione; infatti, questo è verificato per $n=0$ e $n=1$ e, se $P_{n}$ e $P_{n+1}$ sono soluzioni, allora anche $P_{n+2}$ è soluzione:
$\begin{align*}
P_{n+1}(x)^2+P_{n}(x)^2+x^2 &=P_{n+1}(x) \, P_{n}(x) \, x + 4 \\
x^2 \, P_{n+1}(x)^2+P_{n}(x)^2-2[P_{n+1}(x)^2+P_{n}(x)^2+x^2-3] &=x^2 \, P_{n+1}(x)^2+P_{n}(x)^2-2[P_{n+1}(x) \, P_{n}(x) \, x + 1] \\
P_{n+2}(x^2-2) &=P_{n+2}(x)^2-2
\end{align*} $
Ci sono dunque almeno $N$ polinomi di grado $0<n\le N$ a coefficienti interi, soluzioni dell'equazione.
Quindi, i polinomi cercati sono esattamente $N+2$ e sono proprio quelli trovati sopra.
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