Disuguaglianza di giugno

[Talete]

(Tanto sarete tutti a fare i problemi del Senior, e allora non posterete e a nessuno gliene importerà di questa povera disuguaglianza...)

Credo sia own, perché mi è venuta in mente a me mentre ero distratto facendo i problemi per il Senior, ma poi passerà qualcuno a dire che è un fatto noto (o peggio a dire che è sbagliata).

Quindi, sia $g$ un intero positivo fissato. Dimostrare che, comunque scelti $x$ e $y$ interi positivi minori od uguali ad $g$,

\[g(x+y)\le xy+g^2.\]

Trovare inoltre i casi di uguaglianza.

(No, la lettera $g$ non è messa lì "apposta". È a caso!)

EDIT: credo ci siano condizioni "extra" sui numeri che si possono togliere... però vabbè, fatela così: al massimo la sistemate voi.

[LucaMac]

Probabilmente sbaglio, ma non basta fattorizzare?

[Talete]

Non lo so... io avevo fatto per induzione... ma mi sa che hai ragione tu

EDIT: vuoi scrivere la tua soluzione? Intanto io scrivo la mia:

Testo nascosto:

$0<x\le g$, $0<y\le g$.
Dunque, induciamo.
Passo base: $g=1$ quindi per forza $x=y=1$ e $2\le2$.
Passo induttivo. Suppongo vera per $g$ e per ogni scelta di $(x,y)$ in $\{1,2,\ldots,g\}^2$. La tesi è:
per ogni $(x,y)$ in $\{1,2,\ldots,g,g+1\}^2$ si ha $(g+1)(x+y)\le xy+(g+1)^2$.
• se almeno una tra $x$ e $y$ (quelle "nuove") è uguale a $g+1$ si ha l'uguaglianza.
• altrimenti si ha $(x,y)\in\{1,2,\ldots,g\}^2$, quindi vale l'ipotesi induttiva e la tesi è \[g(x+y)+x+y\le xy+g^2+1+2g.\]
Ma siccome $x\le g$ e $y\le g$, allora mi basta dimostrare $g(x+y)\le xy+g^2+1$, ma ho dimostrato che $g(x+y)\le xy+g^2$ per ipotesi induttiva, e $0\le1$.

[Drago96]

Luca intendeva questo: $(g-x)(g-y)\ge0$
(e quindi è vera per i reali in generale)

[Talete]

Luca intendeva questo: $(g-x)(g-y)\ge0$
(e quindi è vera per i reali in generale)

Wow! Non ci avevo pensato...

Ciò non toglie che la mia dimostrazione sia cento volte più bella