E il titolo spiega tutto.
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(a) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Trovare, usando le tecniche di risoluzione delle funzionali (gli "arnesi" di fph, per capirci) le soluzioni a:
\[f\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{f(x)+f(y)}2\hspace{1cm}\forall\ (x,y)\in\mathbb{R}^2.\]
Se volete prendete $2f(x+y)=f(2x)+f(2y)$ per fare i conti senza frazioni
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(b) Trovare le soluzioni alla precedente usando le nozioni di convessità e derivate seconde (ok, forse non è molto elementare, ma le derivate seconde le sanno tutti... quasi... )
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(c) Generalizzare. In particolare, $f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}_+$. Trovare le soluzioni a:
\[f\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i}n\right)=\frac1n\sum_{i=1}^n f(x_i)\hspace{1cm}\forall\ (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n_+.\]
Il $+$ in basso significa "reali $>0$" e serve per non ammazzarla subito ponendo tutte le variabili tranne due uguali a $0$ e ricondurla alla (a). Poi magari viene parecchio facile lo stesso, ma vabbè.
E se invece volessi farla "pesata", come è la disuguaglianza di Jensen vera?
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(d) E se io volessi due funzioni (mi sento potente!)... diciamo $f$ e $g$ sempre da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ tali che:
\[f\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{g(x)+g(y)}2;\hspace{1cm} g\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{f(x)+f(y)}2\hspace{1cm}\forall\ (x,y)\in\mathbb{R}^2.\]
Posso trovarle o no? E se volessi generalizzare come nel caso (c)?
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Un paio di commenti: la (a), che poi è lo stesso della (b), è un problema noto (prego i "pro" di non bruciarlo subito)... invece il (c) è una bella generalizzazione che "viene in mente" pensando alla disuguaglianza che è un po' il filo conduttore di questo topic... la (d) mi è venuta in mente adesso, ed è per quello che è così delirante (sì, è una funzionale che delira...)
Spero che almeno una di queste sia interessante e non si liquidi in due righe...
Jensensfunktionsgleichung
Jensensfunktionsgleichung
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: Jensensfunktionsgleichung
La (a) è equivalente alla Cauchy nuda e cruda, dunque ammette anche tutte le soluzioni brutte...
Perciò la (b) ha poco senso: una volta che come ipotesi ho che la funzione è addirittura derivabile due volte, risolvo tantissime altre funzionali (esempio: ammissione del Winter dell'anno scorso, forse)
Poi proverò anche (c) e soprattutto (d) che sembra interessante (e forse era anche passato sul forum?)
Perciò la (b) ha poco senso: una volta che come ipotesi ho che la funzione è addirittura derivabile due volte, risolvo tantissime altre funzionali (esempio: ammissione del Winter dell'anno scorso, forse)
Poi proverò anche (c) e soprattutto (d) che sembra interessante (e forse era anche passato sul forum?)
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Jensensfunktionsgleichung
Ok, per (a) e (b) hai ragione, non avevo pensato a quelle soluzioni... comunque sono contento che la (c) e la (d) almeno sembrino interessanti...
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