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E' l'esercizio 1 del test di ammissione alla Normale del 1980/81. Non so ancora usare il latex quindi la enuncio a parole:
provare che per ogni alfa razionale compreso fra 0 e 1 e per ogni x,y maggiore o uguale a 0 risulta:

valore assoluto di x^alfa meno y^alfa minore o uguale a valore assoluto di (x-y) tutto elevato alla alfa.

Grazie dell' aiuto

Sposto in Algebra, che è il posto appropriato, e riscrivo il testo:
provare che per ogni numero razionale $0\leq\alpha\leq 1$ e per ogni $x,\ y\geq 0$ risulta:
$$|x^\alpha-y^\alpha|\leq |x-y|^\alpha$$

--EG

...$0\le t\le {{t}^{\alpha }},\forall t\in [0;1]$...

Non ho capito

Supponiamo $x \ge y$. Fissiamo $y$ e consideriamo la funzione $f(x)=x^{\alpha}-y^{\alpha}-(x-y)^{\alpha}$. Vogliamo dimostrare che $f(x) \le 0$.

Consideriamo la derivata in $x$ di $f(x)$, ovvero $f'(x)=\alpha(x^{\alpha-1}-(x-y)^{\alpha-1})$. Pertanto $f'(x)$ è sempre nonpositiva (difatti $x \ge x-y$). Pertanto $f(x)$ è decrescente (anche se $f'(x)$ è definita per $x>y$) in $x$ per $x \ge y$, perciò se $f(y) \le 0$ (ovviamente), allora $f(x) \le 0$ per ogni $x \ge y$.

Vale $0\le t\le {{t}^{\alpha }},\forall t\in [0;1]\ ,\forall \alpha \in [0;1]$ (*)

Allora $1-{{t}^{\alpha }}\le 1-t\le {{\left( 1-t \right)}^{\alpha }},\forall t\in [0;1]\ ,\ \forall \alpha \in [0;1]$.

Se $0<x\le y\ \Rightarrow 0<\frac{x}{y}=t\le 1$….Poi si devono fare i casi estremali…

Un altro modo di vederla è chiamare $z=x-y\ge0$ wlog, e vogliamo $(z+y)^\alpha\le z^\alpha+y^\alpha$, e diciamo ancora wlog $z\ge y $
Ora, $f (x)=x^\alpha $ è concava, e in particolare per ogni $t $ vale $f (x+t)\le f (x)+tf'(x) $.
Dunque $(z+y)^\alpha\le z^\alpha+y\alpha z^{\alpha-1} $ e ci rimane solo $\alpha z^{\alpha-1}\le y^{\alpha-1} $
La funzione $x^{\alpha-1} $ è decrescente perché $\alpha-1\le0$, quindi moltiplicando $\alpha\le1$ e $z^{\alpha-1}\le y^{\alpha-1} $ abbiamo la tesi

Grazie a tutti ora l'ho risolto scusate se era banale

Euler271 ha scritto:Grazie a tutti ora l'ho risolto scusate se era banale

E de che? Di solito la gente o posta problemi impossibili o problemi stupidi, questo ci stava

Esercizio: fatelo senza usare le derivate

No scherzo. Disuguaglianze triangolari?

Hint per farlo senza derivate: perché nel testo c'è scritto $\alpha$ razionale?

Io a prima vista, essendo abbastanza ignorante in analisi, avrei posto $ \displaystyle \alpha = \frac {m}{n} $ con $ m\leq n $ , inoltre avrei assunto WLOG $ x\geq y $ e sapendo che sono pure entrambi positivi, lavorando un pò credo non sia difficilissimo proseguire e concludere, sbaglio ( non ho ancora provato)?

$ |x^\alpha-y^\alpha|\leq |x-y|^\alpha $
Si pone $ x\geq y $ e si divide tutto per $ y^\alpha $
Segue $ (\frac{x}{y})^\alpha - 1 \leq (\frac{x}{y} - 1)^\alpha $
Si pone $ t=\frac{x}{y} \geq 1 $ e segue $ t^\alpha - 1 \leq (t - 1)^\alpha $
Ora basta notare che $ 0\le {{t}^{\alpha }} \le t,\forall \alpha \in [0;1] $
Per cui $ 1-t\le 1- {{t}^{\alpha }} \le 1 $ e quindi $ {(1-t)}^{\alpha }\le 1- {{t}^{\alpha }} \le 1 $.
Ora è praticamente completato, il caso per $ y\geq x $ è analogo.

remat7 ha scritto:$ |x^\alpha-y^\alpha|\leq |x-y|^\alpha $
Si pone $ x\geq y $ e si divide tutto per $ y^\alpha $
Segue $ (\frac{x}{y})^\alpha - 1 \leq (\frac{x}{y} - 1)^{\alpha} $

Non so se sono io che mi sono dimenticato le proprietà delle potenze, ma ho l'impressione che la cosa nella parentesi non puoi farla...

AlexThirty ha scritto:

remat7 ha scritto:$ |x^\alpha-y^\alpha|\leq |x-y|^\alpha $
Si pone $ x\geq y $ e si divide tutto per $ y^\alpha $
Segue $ (\frac{x}{y})^\alpha - 1 \leq (\frac{x}{y} - 1)^{\alpha} $

Non so se sono io che mi sono dimenticato le proprietà delle potenze, ma ho l'impressione che la cosa nella parentesi non puoi farla...

Io credo di poterla fare a dire il vero: cercherò di mostrarti ogni passaggio.
$ |x^\alpha-y^\alpha|\leq |x-y|^\alpha $, si pone $ x\geq y $ e diventa $ (x^\alpha-y^\alpha)\leq(x-y)^\alpha $
Divido tutto per $ y^\alpha $ e ho $ \frac{x^\alpha}{y^\alpha} - 1 \leq \frac{(x-y)^\alpha}{y^\alpha} $.
Ora a casa mia il rapporto tra due potenze con lo stesso esponente è uguale al rapporto dei coefficienti elevati allo stesso esponente ( $ \frac{2^x}{3^x} = (\frac{2}{3})^x $)
Per cui $ (\frac{x}{y})^\alpha - 1 \leq (\frac{x-y}{y})^{\alpha} $ e dato che $ \frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - 1 $ credo proprio di poterla fare quella cosa tra le parentesi