SNS 2015 - 1

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Drago96
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SNS 2015 - 1

Messaggio da Drago96 » 29 ago 2015, 18:44

Siano $I,J$ due insiemi finiti e sia $P: I\times J\to [0,1]$ una funzione. Definiamo $\displaystyle m_i=\min_{j\in J} P(i,j)$ per ogni $i$ fissato e $\displaystyle M_j=\max_{i\in I} P(i,j)$ per ogni $j$ fissato. Siano ora $$\displaystyle L=\max_{i\in I} m_i\;\;\;\text e\;\;\;\displaystyle L'=\min_{j\in J} M_j$$
Dire se uno tra $L$ ed $L'$ è sempre maggiore o uguale dell'altro e mostrare un caso in cui la disuguaglianza è stretta (ovvero non vale l'uguale).
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jordan
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Re: SNS 2015 - 1

Messaggio da jordan » 29 ago 2015, 21:00

Traduzione: chi conosce limsup e liminf?
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RiccardoKelso

Re: SNS 2015 - 1

Messaggio da RiccardoKelso » 30 ago 2015, 10:01

Il difficile di questo problema penso che sia la decifrazione del testo (cosa che non ho ancora portato a compimento). Comunque immagino che moolto a spanne la soluzione sia del tipo: il minimo dei massimi sarà sempre maggiore o uguale al massimo dei minimi, altrimenti avremmo un minimo maggiore di un massimo.

Simone97
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Re: SNS 2015 - 1

Messaggio da Simone97 » 04 set 2015, 15:34

Provo.
Sia $ a $ tale che $ L=\displaystyle m_a $. Allora, per minimalità di $ \displaystyle m_a $ si ha che per ogni $ j $, $ P(a, j) \ge \displaystyle m_a $. Analogamente, sia $ b $ tale che $ L'=\displaystyle M_b $. Allora, per massimalità di $ \displaystyle M_b $ si ha che per ogni $ i $, $ P(i, b) \le \displaystyle M_b $.
Ma dunque $ L'=\displaystyle M_b \ge P(i, b) \ge P(a, b) \ge \displaystyle m_a=L $.
Perché non ci sia uguaglianza basta una qualsiasi scelta di $ P $ per cui $ P(a, b) $ sia diverso da almeno uno tra $ L' $ e$ L $.
Ha senso?

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