OliForum Matematico

Ciao a tutti, ieri a scuola abbiamo fatto un esercitazione per i giochi di Archimede e sono incappato in questo esercizio abbastanza rognoso:

Trovare la somma di tutti i numeri [math]n di due cifre tali che [math]2n^2-n è divisibile per 100.

Qualcuno di voi sa come fare?

Non è una soluzione particolarmente bella ma poco importa: innanzitutto analizzo tutte le possibilità per $n$ modulo $10$ e trovo che $n \equiv 0 \lor 8 \pmod{10}$.
Inoltre noto che se $n$ è un numero di due cifre divisibile per $10$ allora $2n^2$ è divisibile per $100$ e $n$ no, quindi neanche $2n^2-n$ lo è. Di conseguenza $n \equiv 8 \pmod{10}$, ovvero l'ultima cifra è $8$.
Analizzando ora modulo $4$ troviamo $n \equiv 0 \pmod 4$, e per il criterio di divisibilità per $4$ otteniamo che $18, 38, 58, 78$ e $98$ non vanno bene, non ci resta che fare a mano i casi $28, 48, 68, 88$.
In particolare solo $88$ funziona, quindi la somma è proprio $88$ (a meno di enormi strafalcioni da parte mia).

PS (una pignoleria per il corretto uso delle sezioni del forum): quando si parla di numeri interi e divisibilità è teoria dei numeri, non algebra.

Puoi anche scomporlo in n(2n - 1) e a questo punto osservi che 2n - 1 è ovviamente sempre dispari. Dunque 4|n e 25|(2n - 1) [non è possibile che n oppure (2n - 1) siano multipli di 10 se deve essere di sole due cifre]. Infine provi (2n - 1)= 25, 75, 125, 175 e guardi se ci sono valori che ti van bene. Effettivamente n=88 è l'unico.