Primi e potenze di primi

[Gerald Lambeau]

Non sono sicuro che sia la sezione giusta, mi baso su come l'ho risolto io.
Siano $x$ un intero positivo maggiore di $1$ e $p$ un primo. Dimostrare che se $1+x^n+(x^2)^n+ \dots +(x^{p-3})^n+(x^{p-2})^n+(x^{p-1})^n$ è primo allora $n$ è una potenza di $p$.

[erFuricksen]

Testo nascosto:

$$(\mbox{quello che hai scritto tu})=\Phi_p (x^n)$$
Supponiamo che esista un primo $q$ diverso da $p$ che divide $n$ , allora dovrebbe valere $$\Phi_p (x^{qk})=\Phi_{pq}(x^k) \Phi_p (x^k) $$ e quindi non sarebbe primo

[Gerald Lambeau]

Buona

[Drago96]

E come si dimostra quella proprietà?

[erFuricksen]

Beh se io chiamo $x^k=a$ allora avrò che $\Phi_p (a^q)$ è un polinomio che ha come radici tutte le radici p-esime complesse dell'unità e le radici q-esime di queste ultime (direi che si vede abbastanza ad occhio da come è scritto, poi il fatto che siano due primi ci evita il problema di considerare le primitive, perché l'unica non primitiva è 1); pertanto queste sono le radici rispettivamente dei polinomi $\Phi_p (a)$ e $\Phi_{pq} (a)$
(anzi, il fatto che venga fuori $\Phi_p (a)$ è proprio perché considero la radice 1 non primitiva q-esima )