Riciclare roba propria...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Riciclare roba propria...

Messaggio da Gerald Lambeau »

Own (credo) facile:
Trovare tutte le $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tali che
$f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2+yf(x)$
per ogni coppia di reali $x, y$.
"If only I could be so grossly incandescent!"
MATHia
Messaggi: 90
Iscritto il: 11 apr 2014, 01:08

Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da MATHia »

Chiamo $P(x,y)$ l'espressione iniziale. Sottraendo membro a membro $P(x,y)$ e $P(y,x)$ si ottiene:
\[
G(x,y):\quad xf(y)=yf(x)
\]
per ogni $x$, $y$ reali. Sostituendo $x\rightarrow -x$ si ottiene
\[
-xf(y)=yf(-x)
\]
che sommata alla precedente membro a membro porta a
\[
y(f(x)+f(-x))=0
\]
Scegliendo $y\ne 0$ di ottiene $f(x)=-f(-x)$ per ogni $x$ reale, cioè $f$ è dispari. In particolare, vale $f(x)^2=f(-x)^2$. Allora
\[
P(0,0): \quad f(0)^2=2f(0)^2 \implies f(0)=0
\]
per cui
\[
P(1,-1):\quad f(0)^2=f(1)^2+f(-1)^2-f(1) \iff 2f(1)^2-f(1)=0
\]
che ha come soluzioni $f(1)=\frac{1}{2}$ e $f(1)=0$. Da $G(x,1)$ si ricava $f(x)=xf(1)$ per ogni $x$ reale, quindi le candidate soluzioni sono $f(x)=0$ e $f(x)=\frac{x}{2}$, che soddisfano entrambe, sostituite nell'espressione iniziale.

EDIT: corretta terza formula (vedi sotto)
Ultima modifica di MATHia il 01 ago 2016, 22:29, modificato 1 volta in totale.
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da Gerald Lambeau »

Buona salvo un typo, nella terza equazione dovrebbe essere $y(f(x)+f(-x))=0$.
"If only I could be so grossly incandescent!"
MATHia
Messaggi: 90
Iscritto il: 11 apr 2014, 01:08

Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da MATHia »

Sì, giusto, ora edito. Grazie :)
EELST
Messaggi: 13
Iscritto il: 02 lug 2015, 12:23

Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da EELST »

Oppure al primo passaggio della soluzione di MATHia si vede subito che $f(0)=0$, poi basta riscrivere la condizione come $ \dfrac{f(y)}{y}=\dfrac{f(x)}{x}$ da cui il rapporto non varia per ogni $x,y$ reali diversi da 0 e ponendo $c=\dfrac{f(x)}{x}$ si ottiene $ f(x)=c\cdot x$ e sostituendo si ottengono i valori validi di $c$.
Rispondi