Dammi retta

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Gerald Lambeau
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Dammi retta

Messaggio da Gerald Lambeau » 10 apr 2016, 16:17

Dato un punto $P$ a coordinate razionali nel piano cartesiano, determinare se è sempre possibile tracciare una retta passante per $P$ e per nessun altro punto a coordinate razionali (ovviamente quando dico coordinate razionali intendo che sia l'ascissa che l'ordinata devono essere razionali).
BONUS: determinare se è sempre possibile tracciare infinite rette passanti per $P$ e per nessun altro punto a coordinate razionali.
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carlotheboss
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Re: Dammi retta

Messaggio da carlotheboss » 10 apr 2016, 17:22

Tanto perché mi piace uccidere i problemi banali
Testo nascosto:
Scrivo la retta come $y = mx + q$. Chiaramente $q \neq 0$ sennò passa per l'origine e in particolare $q$ deve essere irrazionale sennò avrei un punto a coordinate razionali sull'asse delle ordinate.
Inserendo le coordinate di $P$ nell'equazione viene $y_P = m \cdot x_P + q$ e dunque anche $m$ deve essere irrazionale essendo $q$ irrazionale sennò avrei razionale = razionale * razionale + irrazionale, chiaramente falso con $q \neq 0$.
Ora faccio una cosa brutta, cioé scrivo $m = a_m + b_m$ e $q = a_q + b_q$ con $a_m, a_q$ razionali e $b_m, b_q \neq 0$ irrazionali. L'equazione col punto $P$ diventa: $y_P = (a_m \cdot x_P + a_q) + (b_m \cdot x_P + b_q)$ e dunque la seconda parentesi deve essere razionale e decido di porla uguale a $0$, da cui $b_q = -b_m \cdot x_P$, mentre pongo la prima uguale a $y_P$ da cui una delle tante soluzioni è $a_q = 0$ e $a_m = \frac{y_P}{x_P}$.

Ora la retta iniziale diventa $y = b_m \cdot (x - x_P) + y_P$ e vedo subito da qui che, essendo $b_m \neq 0$ irrazionale e $x - x_P$ e $y_P$ razionali, l'unico punto a coordinate razionali (entrambe) che soddisfa è proprio $P$, quindi esistono infinite rette del genere ad esempio $y = \sqrt{2} \cdot (x - x_P) + y_P$ o $y = \pi \cdot (x - x_P) + y_P$ ecc.
Testo nascosto:
Oppure basta dire si vede che quando $y = A \cdot (x - x_P) + y_P$ con $A$ irrazionale la retta va bene.

MATHia
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Re: Dammi retta

Messaggio da MATHia » 10 apr 2016, 17:26

Metto anche la mia, che di fatto è la seconda soluzione indicata da carlotheboss:
Testo nascosto:
Sia $P(x_p,y_p)$, con $x_p$ e $y_p$ razionali, e $m\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Consideriamo la retta $r:\,\, (y-y_p)=m(x-x_p)$. Supponiamo per assurdo che esista $A(x_a,y_a)\in r$ a coordinate razionali. Allora deve valere
$$m=\frac{y_a-y_p}{x_a-x_p}\in\mathbb{Q}$$
Ma ciò è assurdo, perché $m$ è per ipotesi irrazionale. Allora non esiste alcun altro punto su $r$ a coordinate razionali, fatta eccezione per $P$.
Dunque per ogni punto a coordinate razionali è possibile tracciare una retta che soddisfi le condizioni poste. Inoltre, $m$ può assumere infiniti valori irrazionali distinti, poiché esistono infiniti numeri irrazionali, perciò per ogni $P$ a coordinate razionali è possibile tracciare infinite rette del tipo voluto.

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Gerald Lambeau
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Re: Dammi retta

Messaggio da Gerald Lambeau » 10 apr 2016, 17:34

Ok giuste!
Alternativa più semplice: si trasla la retta per far coincidere $P$ con $(0, 0)$, si nota che così non cambia la razionalità/irrazionalità di ogni punto e i conti sono semplicissimi (è $y=mx$).
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Re: Dammi retta

Messaggio da fph » 10 apr 2016, 22:10

Riuscite a farlo anche con un'osservazione del tipo "i reali sono più dei razionali"?
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Re: Dammi retta

Messaggio da PIELEO13 » 11 apr 2016, 20:10

fph ha scritto:Riuscite a farlo anche con un'osservazione del tipo "i reali sono più dei razionali"?
Ragionando cioè sulla densità degli insiemi? E' molto interessante, come si potrebbe fare?

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Re: Dammi retta

Messaggio da fph » 11 apr 2016, 20:27

No, non sulla densità, che è un'altra cosa, ma sulla cardinalità. In pratica il risultato è questo (di Cantor): non esiste una funzione suriettiva da $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$. Come potresti costruire una funzione di quel tipo supponendo falsa la tesi?
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